Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25548 / 24249
↖ ↑ ↗
← S 65.039697°
E100.678711°		 ← 515.52 m → S 65.039697°
E100.689697°		 →
↑
515.48 m
↓
↑
515.48 m
↓
S 65.044333°
E100.678711°		 ← 515.43 m →
265 716 m²		 S 65.044333°
E100.689697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779678344726562 y=0.740036010742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779678344726562 × 215)
    floor (0.779678344726562 × 32768)
    floor (25548.5)     		tx = 25548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740036010742188 × 215)
    floor (0.740036010742188 × 32768)
    floor (24249.5)     		ty = 24249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25548 / 24249 ti = "15/25548/24249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25548/24249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25548 ÷ 215
    25548 ÷ 32768     		x = 0.7796630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24249 ÷ 215
    24249 ÷ 32768     		y = 0.740020751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7796630859375 × 2 - 1) × π
    0.559326171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75717499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740020751953125 × 2 - 1) × π
    -0.48004150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50809486204697
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75717499} λ = 1.75717499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50809486204697))-π/2
    2×atan(0.221331243099279)-π/2
    2×0.217819735157092-π/2
    0.435639470314183-1.57079632675     		φ = -1.13515686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75717499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.678711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13515686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.039697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25548 KachelY 24249 1.75717499 -1.13515686 100.678711 -65.039697
    Oben rechts KachelX + 1 25549 KachelY 24249 1.75736674 -1.13515686 100.689697 -65.039697
    Unten links KachelX 25548 KachelY + 1 24250 1.75717499 -1.13523777 100.678711 -65.044333
    Unten rechts KachelX + 1 25549 KachelY + 1 24250 1.75736674 -1.13523777 100.689697 -65.044333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13515686--1.13523777) × R
    8.09100000001006e-05 × 6371000     		dl = 515.477610000641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13515686--1.13523777) × R
    8.09100000001006e-05 × 6371000     		dr = 515.477610000641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75717499-1.75736674) × cos(-1.13515686) × R
    0.000191749999999935 × 0.421990228445362 × 6371000     		do = 515.519826185146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75717499-1.75736674) × cos(-1.13523777) × R
    0.000191749999999935 × 0.421916874027517 × 6371000     		du = 515.430213549146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13515686)-sin(-1.13523777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421990228445362-0.421916874027517)×R²
    abs(1.75736674-1.75717499)×7.33544178445622e-05×R²
    0.000191749999999935×7.33544178445622e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.33544178445622e-05×40589641000000     		ar = 265715.831401241m²