Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25547 / 24250
↖ ↑ ↗
← S 65.044333°
E100.667724°		 ← 515.43 m → S 65.044333°
E100.678711°		 →
↑
515.35 m
↓
↑
515.35 m
↓
S 65.048968°
E100.667724°		 ← 515.34 m →
265 604 m²		 S 65.048968°
E100.678711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779647827148438 y=0.740066528320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779647827148438 × 215)
    floor (0.779647827148438 × 32768)
    floor (25547.5)     		tx = 25547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740066528320312 × 215)
    floor (0.740066528320312 × 32768)
    floor (24250.5)     		ty = 24250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25547 / 24250 ti = "15/25547/24250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25547/24250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25547 ÷ 215
    25547 ÷ 32768     		x = 0.779632568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24250 ÷ 215
    24250 ÷ 32768     		y = 0.74005126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779632568359375 × 2 - 1) × π
    0.55926513671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75698324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74005126953125 × 2 - 1) × π
    -0.4801025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50828660964545
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75698324} λ = 1.75698324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50828660964545))-π/2
    2×atan(0.221288807433544)-π/2
    2×0.217779280866744-π/2
    0.435558561733488-1.57079632675     		φ = -1.13523777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75698324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.667724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13523777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.044333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25547 KachelY 24250 1.75698324 -1.13523777 100.667724 -65.044333
    Oben rechts KachelX + 1 25548 KachelY 24250 1.75717499 -1.13523777 100.678711 -65.044333
    Unten links KachelX 25547 KachelY + 1 24251 1.75698324 -1.13531866 100.667724 -65.048968
    Unten rechts KachelX + 1 25548 KachelY + 1 24251 1.75717499 -1.13531866 100.678711 -65.048968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13523777--1.13531866) × R
    8.08900000000001e-05 × 6371000     		dl = 515.350190000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13523777--1.13531866) × R
    8.08900000000001e-05 × 6371000     		dr = 515.350190000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75698324-1.75717499) × cos(-1.13523777) × R
    0.000191749999999935 × 0.421916874027517 × 6371000     		do = 515.430213549146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75698324-1.75717499) × cos(-1.13531866) × R
    0.000191749999999935 × 0.421843534980997 × 6371000     		du = 515.34061969136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13523777)-sin(-1.13531866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421916874027517-0.421843534980997)×R²
    abs(1.75717499-1.75698324)×7.33390465199601e-05×R²
    0.000191749999999935×7.33390465199601e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.33390465199601e-05×40589641000000     		ar = 265603.972523072m²