Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25547 / 24247
↖ ↑ ↗
← S 65.030423°
E100.667724°		 ← 515.70 m → S 65.030423°
E100.678711°		 →
↑
515.61 m
↓
↑
515.61 m
↓
S 65.035060°
E100.667724°		 ← 515.61 m →
265 874 m²		 S 65.035060°
E100.678711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779647827148438 y=0.739974975585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779647827148438 × 215)
    floor (0.779647827148438 × 32768)
    floor (25547.5)     		tx = 25547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739974975585938 × 215)
    floor (0.739974975585938 × 32768)
    floor (24247.5)     		ty = 24247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25547 / 24247 ti = "15/25547/24247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25547/24247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25547 ÷ 215
    25547 ÷ 32768     		x = 0.779632568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24247 ÷ 215
    24247 ÷ 32768     		y = 0.739959716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779632568359375 × 2 - 1) × π
    0.55926513671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75698324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739959716796875 × 2 - 1) × π
    -0.47991943359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50771136685001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75698324} λ = 1.75698324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50771136685001))-π/2
    2×atan(0.221416138845459)-π/2
    2×0.217900664838111-π/2
    0.435801329676223-1.57079632675     		φ = -1.13499500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75698324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.667724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13499500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.030423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25547 KachelY 24247 1.75698324 -1.13499500 100.667724 -65.030423
    Oben rechts KachelX + 1 25548 KachelY 24247 1.75717499 -1.13499500 100.678711 -65.030423
    Unten links KachelX 25547 KachelY + 1 24248 1.75698324 -1.13507593 100.667724 -65.035060
    Unten rechts KachelX + 1 25548 KachelY + 1 24248 1.75717499 -1.13507593 100.678711 -65.035060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13499500--1.13507593) × R
    8.09299999999791e-05 × 6371000     		dl = 515.605029999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13499500--1.13507593) × R
    8.09299999999791e-05 × 6371000     		dr = 515.605029999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75698324-1.75717499) × cos(-1.13499500) × R
    0.000191749999999935 × 0.422136965254267 × 6371000     		do = 515.699085630325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75698324-1.75717499) × cos(-1.13507593) × R
    0.000191749999999935 × 0.422063598232002 × 6371000     		du = 515.60945759627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13499500)-sin(-1.13507593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422136965254267-0.422063598232002)×R²
    abs(1.75717499-1.75698324)×7.33670222652361e-05×R²
    0.000191749999999935×7.33670222652361e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.33670222652361e-05×40589641000000     		ar = 265873.936329503m²