Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25546 / 24253
↖ ↑ ↗
← S 65.058235°
E100.656738°		 ← 515.13 m → S 65.058235°
E100.667724°		 →
↑
515.10 m
↓
↑
515.10 m
↓
S 65.062868°
E100.656738°		 ← 515.05 m →
265 320 m²		 S 65.062868°
E100.667724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779617309570312 y=0.740158081054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779617309570312 × 215)
    floor (0.779617309570312 × 32768)
    floor (25546.5)     		tx = 25546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740158081054688 × 215)
    floor (0.740158081054688 × 32768)
    floor (24253.5)     		ty = 24253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25546 / 24253 ti = "15/25546/24253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25546/24253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25546 ÷ 215
    25546 ÷ 32768     		x = 0.77960205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24253 ÷ 215
    24253 ÷ 32768     		y = 0.740142822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77960205078125 × 2 - 1) × π
    0.5592041015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75679150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740142822265625 × 2 - 1) × π
    -0.48028564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50886185244089
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75679150} λ = 1.75679150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50886185244089))-π/2
    2×atan(0.221161549247043)-π/2
    2×0.217657960184857-π/2
    0.435315920369714-1.57079632675     		φ = -1.13548041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75679150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.656738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13548041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.058235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25546 KachelY 24253 1.75679150 -1.13548041 100.656738 -65.058235
    Oben rechts KachelX + 1 25547 KachelY 24253 1.75698324 -1.13548041 100.667724 -65.058235
    Unten links KachelX 25546 KachelY + 1 24254 1.75679150 -1.13556126 100.656738 -65.062868
    Unten rechts KachelX + 1 25547 KachelY + 1 24254 1.75698324 -1.13556126 100.667724 -65.062868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13548041--1.13556126) × R
    8.08500000000212e-05 × 6371000     		dl = 515.095350000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13548041--1.13556126) × R
    8.08500000000212e-05 × 6371000     		dr = 515.095350000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75679150-1.75698324) × cos(-1.13548041) × R
    0.000191739999999996 × 0.421696875809934 × 6371000     		do = 515.134588783822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75679150-1.75698324) × cos(-1.13556126) × R
    0.000191739999999996 × 0.421623564756106 × 6371000     		du = 515.045033793653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13548041)-sin(-1.13556126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421696875809934-0.421623564756106)×R²
    abs(1.75698324-1.75679150)×7.331105382824e-05×R²
    0.000191739999999996×7.331105382824e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.331105382824e-05×40589641000000     		ar = 265320.366771869m²