Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25544 / 24008
↖ ↑ ↗
← S 63.898731°
E100.634766°		 ← 537.47 m → S 63.898731°
E100.645752°		 →
↑
537.39 m
↓
↑
537.39 m
↓
S 63.903564°
E100.634766°		 ← 537.38 m →
288 809 m²		 S 63.903564°
E100.645752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779556274414062 y=0.732681274414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779556274414062 × 215)
    floor (0.779556274414062 × 32768)
    floor (25544.5)     		tx = 25544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732681274414062 × 215)
    floor (0.732681274414062 × 32768)
    floor (24008.5)     		ty = 24008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25544 / 24008 ti = "15/25544/24008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25544/24008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25544 ÷ 215
    25544 ÷ 32768     		x = 0.779541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24008 ÷ 215
    24008 ÷ 32768     		y = 0.732666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779541015625 × 2 - 1) × π
    0.55908203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75640800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732666015625 × 2 - 1) × π
    -0.46533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46188369081323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75640800} λ = 1.75640800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46188369081323))-π/2
    2×atan(0.231799225154917)-π/2
    2×0.227776543120856-π/2
    0.455553086241713-1.57079632675     		φ = -1.11524324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75640800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.634766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11524324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.898731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25544 KachelY 24008 1.75640800 -1.11524324 100.634766 -63.898731
    Oben rechts KachelX + 1 25545 KachelY 24008 1.75659975 -1.11524324 100.645752 -63.898731
    Unten links KachelX 25544 KachelY + 1 24009 1.75640800 -1.11532759 100.634766 -63.903564
    Unten rechts KachelX + 1 25545 KachelY + 1 24009 1.75659975 -1.11532759 100.645752 -63.903564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11524324--1.11532759) × R
    8.43499999998443e-05 × 6371000     		dl = 537.393849999008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11524324--1.11532759) × R
    8.43499999998443e-05 × 6371000     		dr = 537.393849999008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75640800-1.75659975) × cos(-1.11524324) × R
    0.000191749999999935 × 0.439959062876721 × 6371000     		do = 537.471259603238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75640800-1.75659975) × cos(-1.11532759) × R
    0.000191749999999935 × 0.439883313507713 × 6371000     		du = 537.378721200895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11524324)-sin(-1.11532759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439959062876721-0.439883313507713)×R²
    abs(1.75659975-1.75640800)×7.57493690076161e-05×R²
    0.000191749999999935×7.57493690076161e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.57493690076161e-05×40589641000000     		ar = 288808.884848999m²