Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25542 / 24063
↖ ↑ ↗
← S 64.163319°
E100.612793°		 ← 532.37 m → S 64.163319°
E100.623779°		 →
↑
532.36 m
↓
↑
532.36 m
↓
S 64.168107°
E100.612793°		 ← 532.28 m →
283 389 m²		 S 64.168107°
E100.623779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779495239257812 y=0.734359741210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779495239257812 × 215)
    floor (0.779495239257812 × 32768)
    floor (25542.5)     		tx = 25542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734359741210938 × 215)
    floor (0.734359741210938 × 32768)
    floor (24063.5)     		ty = 24063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25542 / 24063 ti = "15/25542/24063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25542/24063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25542 ÷ 215
    25542 ÷ 32768     		x = 0.77947998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24063 ÷ 215
    24063 ÷ 32768     		y = 0.734344482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77947998046875 × 2 - 1) × π
    0.5589599609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75602451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734344482421875 × 2 - 1) × π
    -0.46868896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47242980872964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75602451} λ = 1.75602451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47242980872964))-π/2
    2×atan(0.229367488422886)-π/2
    2×0.225467572240937-π/2
    0.450935144481875-1.57079632675     		φ = -1.11986118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75602451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.612793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11986118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.163319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25542 KachelY 24063 1.75602451 -1.11986118 100.612793 -64.163319
    Oben rechts KachelX + 1 25543 KachelY 24063 1.75621625 -1.11986118 100.623779 -64.163319
    Unten links KachelX 25542 KachelY + 1 24064 1.75602451 -1.11994474 100.612793 -64.168107
    Unten rechts KachelX + 1 25543 KachelY + 1 24064 1.75621625 -1.11994474 100.623779 -64.168107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11986118--1.11994474) × R
    8.35599999999825e-05 × 6371000     		dl = 532.360759999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11986118--1.11994474) × R
    8.35599999999825e-05 × 6371000     		dr = 532.360759999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75602451-1.75621625) × cos(-1.11986118) × R
    0.000191739999999996 × 0.435807394021677 × 6371000     		do = 532.371652688012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75602451-1.75621625) × cos(-1.11994474) × R
    0.000191739999999996 × 0.435732185161907 × 6371000     		du = 532.279779384525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11986118)-sin(-1.11994474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435807394021677-0.435732185161907)×R²
    abs(1.75621625-1.75602451)×7.52088597703593e-05×R²
    0.000191739999999996×7.52088597703593e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.52088597703593e-05×40589641000000     		ar = 283389.322921988m²