Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25541 / 24893
↖ ↑ ↗
← S 67.863125°
E100.601807°		 ← 460.34 m → S 67.863125°
E100.612793°		 →
↑
460.30 m
↓
↑
460.30 m
↓
S 67.867265°
E100.601807°		 ← 460.26 m →
211 877 m²		 S 67.867265°
E100.612793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779464721679688 y=0.759689331054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779464721679688 × 215)
    floor (0.779464721679688 × 32768)
    floor (25541.5)     		tx = 25541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759689331054688 × 215)
    floor (0.759689331054688 × 32768)
    floor (24893.5)     		ty = 24893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25541 / 24893 ti = "15/25541/24893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25541/24893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25541 ÷ 215
    25541 ÷ 32768     		x = 0.779449462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24893 ÷ 215
    24893 ÷ 32768     		y = 0.759674072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779449462890625 × 2 - 1) × π
    0.55889892578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75583276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759674072265625 × 2 - 1) × π
    -0.51934814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63158031546823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75583276} λ = 1.75583276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63158031546823))-π/2
    2×atan(0.195620188118368)-π/2
    2×0.193180677134353-π/2
    0.386361354268705-1.57079632675     		φ = -1.18443497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75583276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.601807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18443497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.863125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25541 KachelY 24893 1.75583276 -1.18443497 100.601807 -67.863125
    Oben rechts KachelX + 1 25542 KachelY 24893 1.75602451 -1.18443497 100.612793 -67.863125
    Unten links KachelX 25541 KachelY + 1 24894 1.75583276 -1.18450722 100.601807 -67.867265
    Unten rechts KachelX + 1 25542 KachelY + 1 24894 1.75602451 -1.18450722 100.612793 -67.867265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18443497--1.18450722) × R
    7.22499999998849e-05 × 6371000     		dl = 460.304749999267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18443497--1.18450722) × R
    7.22499999998849e-05 × 6371000     		dr = 460.304749999267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75583276-1.75602451) × cos(-1.18443497) × R
    0.000191749999999935 × 0.376820491691224 × 6371000     		do = 460.338702854142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75583276-1.75602451) × cos(-1.18450722) × R
    0.000191749999999935 × 0.376753566522303 × 6371000     		du = 460.256944440975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18443497)-sin(-1.18450722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376820491691224-0.376753566522303)×R²
    abs(1.75602451-1.75583276)×6.69251689214279e-05×R²
    0.000191749999999935×6.69251689214279e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.69251689214279e-05×40589641000000     		ar = 211877.274731115m²