Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25537 / 24774
↖ ↑ ↗
← S 67.365243°
E100.557861°		 ← 470.15 m → S 67.365243°
E100.568848°		 →
↑
470.12 m
↓
↑
470.12 m
↓
S 67.369471°
E100.557861°		 ← 470.07 m →
221 008 m²		 S 67.369471°
E100.568848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779342651367188 y=0.756057739257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779342651367188 × 215)
    floor (0.779342651367188 × 32768)
    floor (25537.5)     		tx = 25537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756057739257812 × 215)
    floor (0.756057739257812 × 32768)
    floor (24774.5)     		ty = 24774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25537 / 24774 ti = "15/25537/24774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25537/24774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25537 ÷ 215
    25537 ÷ 32768     		x = 0.779327392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24774 ÷ 215
    24774 ÷ 32768     		y = 0.75604248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779327392578125 × 2 - 1) × π
    0.55865478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75506577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75604248046875 × 2 - 1) × π
    -0.5120849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60876235124908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75506577} λ = 1.75506577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60876235124908))-π/2
    2×atan(0.200135157885574)-π/2
    2×0.197525515976702-π/2
    0.395051031953403-1.57079632675     		φ = -1.17574529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75506577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.557861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17574529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.365243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25537 KachelY 24774 1.75506577 -1.17574529 100.557861 -67.365243
    Oben rechts KachelX + 1 25538 KachelY 24774 1.75525752 -1.17574529 100.568848 -67.365243
    Unten links KachelX 25537 KachelY + 1 24775 1.75506577 -1.17581908 100.557861 -67.369471
    Unten rechts KachelX + 1 25538 KachelY + 1 24775 1.75525752 -1.17581908 100.568848 -67.369471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17574529--1.17581908) × R
    7.37899999998515e-05 × 6371000     		dl = 470.116089999054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17574529--1.17581908) × R
    7.37899999998515e-05 × 6371000     		dr = 470.116089999054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75506577-1.75525752) × cos(-1.17574529) × R
    0.000191749999999935 × 0.384855295093405 × 6371000     		do = 470.154334056276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75506577-1.75525752) × cos(-1.17581908) × R
    0.000191749999999935 × 0.384787187578499 × 6371000     		du = 470.071131242848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17574529)-sin(-1.17581908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384855295093405-0.384787187578499)×R²
    abs(1.75525752-1.75506577)×6.81075149057131e-05×R²
    0.000191749999999935×6.81075149057131e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.81075149057131e-05×40589641000000     		ar = 221007.559832713m²