Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25535 / 24788
↖ ↑ ↗
← S 67.424364°
E100.535888°		 ← 468.99 m → S 67.424364°
E100.546875°		 →
↑
468.91 m
↓
↑
468.91 m
↓
S 67.428581°
E100.535888°		 ← 468.91 m →
219 893 m²		 S 67.428581°
E100.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779281616210938 y=0.756484985351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779281616210938 × 215)
    floor (0.779281616210938 × 32768)
    floor (25535.5)     		tx = 25535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756484985351562 × 215)
    floor (0.756484985351562 × 32768)
    floor (24788.5)     		ty = 24788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25535 / 24788 ti = "15/25535/24788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25535/24788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25535 ÷ 215
    25535 ÷ 32768     		x = 0.779266357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24788 ÷ 215
    24788 ÷ 32768     		y = 0.7564697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779266357421875 × 2 - 1) × π
    0.55853271484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75468227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7564697265625 × 2 - 1) × π
    -0.512939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61144681762781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75468227} λ = 1.75468227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61144681762781))-π/2
    2×atan(0.199598622261157)-π/2
    2×0.197009589943288-π/2
    0.394019179886575-1.57079632675     		φ = -1.17677715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75468227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.535888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17677715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.424364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25535 KachelY 24788 1.75468227 -1.17677715 100.535888 -67.424364
    Oben rechts KachelX + 1 25536 KachelY 24788 1.75487402 -1.17677715 100.546875 -67.424364
    Unten links KachelX 25535 KachelY + 1 24789 1.75468227 -1.17685075 100.535888 -67.428581
    Unten rechts KachelX + 1 25536 KachelY + 1 24789 1.75487402 -1.17685075 100.546875 -67.428581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17677715--1.17685075) × R
    7.3600000000118e-05 × 6371000     		dl = 468.905600000752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17677715--1.17685075) × R
    7.3600000000118e-05 × 6371000     		dr = 468.905600000752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75468227-1.75487402) × cos(-1.17677715) × R
    0.000191749999999935 × 0.38390270740939 × 6371000     		do = 468.990615552418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75468227-1.75487402) × cos(-1.17685075) × R
    0.000191749999999935 × 0.383834746076442 × 6371000     		du = 468.907591320606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17677715)-sin(-1.17685075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38390270740939-0.383834746076442)×R²
    abs(1.75487402-1.75468227)×6.79613329479523e-05×R²
    0.000191749999999935×6.79613329479523e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.79613329479523e-05×40589641000000     		ar = 219892.860816097m²