Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25533 / 24395
↖ ↑ ↗
← S 65.708038°
E100.513916°		 ← 502.57 m → S 65.708038°
E100.524903°		 →
↑
502.54 m
↓
↑
502.54 m
↓
S 65.712558°
E100.513916°		 ← 502.48 m →
252 540 m²		 S 65.712558°
E100.524903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779220581054688 y=0.744491577148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779220581054688 × 215)
    floor (0.779220581054688 × 32768)
    floor (25533.5)     		tx = 25533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744491577148438 × 215)
    floor (0.744491577148438 × 32768)
    floor (24395.5)     		ty = 24395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25533 / 24395 ti = "15/25533/24395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25533/24395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25533 ÷ 215
    25533 ÷ 32768     		x = 0.779205322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24395 ÷ 215
    24395 ÷ 32768     		y = 0.744476318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779205322265625 × 2 - 1) × π
    0.55841064453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75429878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744476318359375 × 2 - 1) × π
    -0.48895263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53609001142508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75429878} λ = 1.75429878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53609001142508))-π/2
    2×atan(0.215220969952413)-π/2
    2×0.211987357339367-π/2
    0.423974714678734-1.57079632675     		φ = -1.14682161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75429878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.513916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14682161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.708038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25533 KachelY 24395 1.75429878 -1.14682161 100.513916 -65.708038
    Oben rechts KachelX + 1 25534 KachelY 24395 1.75449053 -1.14682161 100.524903 -65.708038
    Unten links KachelX 25533 KachelY + 1 24396 1.75429878 -1.14690049 100.513916 -65.712558
    Unten rechts KachelX + 1 25534 KachelY + 1 24396 1.75449053 -1.14690049 100.524903 -65.712558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14682161--1.14690049) × R
    7.88800000000034e-05 × 6371000     		dl = 502.544480000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14682161--1.14690049) × R
    7.88800000000034e-05 × 6371000     		dr = 502.544480000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75429878-1.75449053) × cos(-1.14682161) × R
    0.000191749999999935 × 0.41138649247803 × 6371000     		do = 502.565886130821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75429878-1.75449053) × cos(-1.14690049) × R
    0.000191749999999935 × 0.411314595154621 × 6371000     		du = 502.478053538574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14682161)-sin(-1.14690049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41138649247803-0.411314595154621)×R²
    abs(1.75449053-1.75429878)×7.18973234091203e-05×R²
    0.000191749999999935×7.18973234091203e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.18973234091203e-05×40589641000000     		ar = 252539.642149742m²