Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25531 / 24406
↖ ↑ ↗
← S 65.757706°
E100.491943°		 ← 501.60 m → S 65.757706°
E100.502930°		 →
↑
501.59 m
↓
↑
501.59 m
↓
S 65.762217°
E100.491943°		 ← 501.51 m →
251 575 m²		 S 65.762217°
E100.502930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779159545898438 y=0.744827270507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779159545898438 × 215)
    floor (0.779159545898438 × 32768)
    floor (25531.5)     		tx = 25531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744827270507812 × 215)
    floor (0.744827270507812 × 32768)
    floor (24406.5)     		ty = 24406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25531 / 24406 ti = "15/25531/24406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25531/24406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25531 ÷ 215
    25531 ÷ 32768     		x = 0.779144287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24406 ÷ 215
    24406 ÷ 32768     		y = 0.74481201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779144287109375 × 2 - 1) × π
    0.55828857421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75391528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74481201171875 × 2 - 1) × π
    -0.4896240234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53819923500836
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75391528} λ = 1.75391528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53819923500836))-π/2
    2×atan(0.214767499210681)-π/2
    2×0.211553921118528-π/2
    0.423107842237056-1.57079632675     		φ = -1.14768848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75391528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.491943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14768848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.757706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25531 KachelY 24406 1.75391528 -1.14768848 100.491943 -65.757706
    Oben rechts KachelX + 1 25532 KachelY 24406 1.75410703 -1.14768848 100.502930 -65.757706
    Unten links KachelX 25531 KachelY + 1 24407 1.75391528 -1.14776721 100.491943 -65.762217
    Unten rechts KachelX + 1 25532 KachelY + 1 24407 1.75410703 -1.14776721 100.502930 -65.762217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14768848--1.14776721) × R
    7.87300000000268e-05 × 6371000     		dl = 501.588830000171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14768848--1.14776721) × R
    7.87300000000268e-05 × 6371000     		dr = 501.588830000171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75391528-1.75410703) × cos(-1.14768848) × R
    0.000191749999999935 × 0.41059621980928 × 6371000     		do = 501.600458020474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75391528-1.75410703) × cos(-1.14776721) × R
    0.000191749999999935 × 0.410524431162715 × 6371000     		du = 501.512758192126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14768848)-sin(-1.14776721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41059621980928-0.410524431162715)×R²
    abs(1.75410703-1.75391528)×7.17886465647632e-05×R²
    0.000191749999999935×7.17886465647632e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.17886465647632e-05×40589641000000     		ar = 251575.192369146m²