Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25531 / 24031
↖ ↑ ↗
← S 64.009682°
E100.491943°		 ← 535.35 m → S 64.009682°
E100.502930°		 →
↑
535.29 m
↓
↑
535.29 m
↓
S 64.014496°
E100.491943°		 ← 535.25 m →
286 541 m²		 S 64.014496°
E100.502930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779159545898438 y=0.733383178710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779159545898438 × 215)
    floor (0.779159545898438 × 32768)
    floor (25531.5)     		tx = 25531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733383178710938 × 215)
    floor (0.733383178710938 × 32768)
    floor (24031.5)     		ty = 24031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25531 / 24031 ti = "15/25531/24031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25531/24031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25531 ÷ 215
    25531 ÷ 32768     		x = 0.779144287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24031 ÷ 215
    24031 ÷ 32768     		y = 0.733367919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779144287109375 × 2 - 1) × π
    0.55828857421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75391528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733367919921875 × 2 - 1) × π
    -0.46673583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46629388557828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75391528} λ = 1.75391528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46629388557828))-π/2
    2×atan(0.230779196341744)-π/2
    2×0.226808309728478-π/2
    0.453616619456956-1.57079632675     		φ = -1.11717971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75391528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.491943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11717971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.009682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25531 KachelY 24031 1.75391528 -1.11717971 100.491943 -64.009682
    Oben rechts KachelX + 1 25532 KachelY 24031 1.75410703 -1.11717971 100.502930 -64.009682
    Unten links KachelX 25531 KachelY + 1 24032 1.75391528 -1.11726373 100.491943 -64.014496
    Unten rechts KachelX + 1 25532 KachelY + 1 24032 1.75410703 -1.11726373 100.502930 -64.014496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11717971--1.11726373) × R
    8.40199999998514e-05 × 6371000     		dl = 535.291419999053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11717971--1.11726373) × R
    8.40199999998514e-05 × 6371000     		dr = 535.291419999053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75391528-1.75410703) × cos(-1.11717971) × R
    0.000191749999999935 × 0.438219254471787 × 6371000     		do = 535.345841368292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75391528-1.75410703) × cos(-1.11726373) × R
    0.000191749999999935 × 0.438143730026227 × 6371000     		du = 535.253577741261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11717971)-sin(-1.11726373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438219254471787-0.438143730026227)×R²
    abs(1.75410703-1.75391528)×7.55244455597492e-05×R²
    0.000191749999999935×7.55244455597492e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.55244455597492e-05×40589641000000     		ar = 286541.341820764m²