Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25530 / 24410
↖ ↑ ↗
← S 65.775744°
E100.480957°		 ← 501.22 m → S 65.775744°
E100.491943°		 →
↑
501.21 m
↓
↑
501.21 m
↓
S 65.780251°
E100.480957°		 ← 501.14 m →
251 195 m²		 S 65.780251°
E100.491943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779129028320312 y=0.744949340820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779129028320312 × 215)
    floor (0.779129028320312 × 32768)
    floor (25530.5)     		tx = 25530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744949340820312 × 215)
    floor (0.744949340820312 × 32768)
    floor (24410.5)     		ty = 24410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25530 / 24410 ti = "15/25530/24410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25530/24410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25530 ÷ 215
    25530 ÷ 32768     		x = 0.77911376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24410 ÷ 215
    24410 ÷ 32768     		y = 0.74493408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77911376953125 × 2 - 1) × π
    0.5582275390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75372354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74493408203125 × 2 - 1) × π
    -0.4898681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.53896622540228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75372354} λ = 1.75372354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53896622540228))-π/2
    2×atan(0.214602837756809)-π/2
    2×0.211396514492515-π/2
    0.42279302898503-1.57079632675     		φ = -1.14800330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75372354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.480957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14800330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.775744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25530 KachelY 24410 1.75372354 -1.14800330 100.480957 -65.775744
    Oben rechts KachelX + 1 25531 KachelY 24410 1.75391528 -1.14800330 100.491943 -65.775744
    Unten links KachelX 25530 KachelY + 1 24411 1.75372354 -1.14808197 100.480957 -65.780251
    Unten rechts KachelX + 1 25531 KachelY + 1 24411 1.75391528 -1.14808197 100.491943 -65.780251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14800330--1.14808197) × R
    7.86699999999474e-05 × 6371000     		dl = 501.206569999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14800330--1.14808197) × R
    7.86699999999474e-05 × 6371000     		dr = 501.206569999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75372354-1.75391528) × cos(-1.14800330) × R
    0.000191739999999996 × 0.410309141151853 × 6371000     		do = 501.2236106695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75372354-1.75391528) × cos(-1.14808197) × R
    0.000191739999999996 × 0.410237397051516 × 6371000     		du = 501.135969831389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14800330)-sin(-1.14808197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410309141151853-0.410237397051516)×R²
    abs(1.75391528-1.75372354)×7.17441003373342e-05×R²
    0.000191739999999996×7.17441003373342e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.17441003373342e-05×40589641000000     		ar = 251194.603754252m²