Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25530 / 24026
↖ ↑ ↗
← S 63.985600°
E100.480957°		 ← 535.78 m → S 63.985600°
E100.491943°		 →
↑
535.74 m
↓
↑
535.74 m
↓
S 63.990418°
E100.480957°		 ← 535.69 m →
287 012 m²		 S 63.990418°
E100.491943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779129028320312 y=0.733230590820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779129028320312 × 215)
    floor (0.779129028320312 × 32768)
    floor (25530.5)     		tx = 25530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733230590820312 × 215)
    floor (0.733230590820312 × 32768)
    floor (24026.5)     		ty = 24026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25530 / 24026 ti = "15/25530/24026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25530/24026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25530 ÷ 215
    25530 ÷ 32768     		x = 0.77911376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24026 ÷ 215
    24026 ÷ 32768     		y = 0.73321533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77911376953125 × 2 - 1) × π
    0.5582275390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75372354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73321533203125 × 2 - 1) × π
    -0.4664306640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.46533514758588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75372354} λ = 1.75372354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46533514758588))-π/2
    2×atan(0.231000559222679)-π/2
    2×0.227018468989986-π/2
    0.454036937979973-1.57079632675     		φ = -1.11675939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75372354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.480957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11675939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.985600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25530 KachelY 24026 1.75372354 -1.11675939 100.480957 -63.985600
    Oben rechts KachelX + 1 25531 KachelY 24026 1.75391528 -1.11675939 100.491943 -63.985600
    Unten links KachelX 25530 KachelY + 1 24027 1.75372354 -1.11684348 100.480957 -63.990418
    Unten rechts KachelX + 1 25531 KachelY + 1 24027 1.75391528 -1.11684348 100.491943 -63.990418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11675939--1.11684348) × R
    8.40900000000921e-05 × 6371000     		dl = 535.737390000587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11675939--1.11684348) × R
    8.40900000000921e-05 × 6371000     		dr = 535.737390000587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75372354-1.75391528) × cos(-1.11675939) × R
    0.000191739999999996 × 0.438597027996165 × 6371000     		do = 535.779401316799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75372354-1.75391528) × cos(-1.11684348) × R
    0.000191739999999996 × 0.438521456121332 × 6371000     		du = 535.68708456299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11675939)-sin(-1.11684348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438597027996165-0.438521456121332)×R²
    abs(1.75391528-1.75372354)×7.55718748334244e-05×R²
    0.000191739999999996×7.55718748334244e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.55718748334244e-05×40589641000000     		ar = 287012.329478664m²