Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2553 / 539
↖ ↑ ↗
← N 78.716316°
E 44.384766°		 ← 1 912.25 m → N 78.716316°
E 44.472656°		 →
↑
1 913.66 m
↓
↑
1 913.66 m
↓
N 78.699106°
E 44.384766°		 ← 1 915.13 m →
3 662 145 m²		 N 78.699106°
E 44.472656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6234130859375 y=0.1317138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6234130859375 × 212)
    floor (0.6234130859375 × 4096)
    floor (2553.5)     		tx = 2553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1317138671875 × 212)
    floor (0.1317138671875 × 4096)
    floor (539.5)     		ty = 539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2553 / 539 ti = "12/2553/539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2553/539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2553 ÷ 212
    2553 ÷ 4096     		x = 0.623291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 539 ÷ 212
    539 ÷ 4096     		y = 0.131591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623291015625 × 2 - 1) × π
    0.24658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77466030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131591796875 × 2 - 1) × π
    0.73681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31477700885327
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77466030} λ = 0.77466030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31477700885327))-π/2
    2×atan(10.1226654022836)-π/2
    2×1.47232760933617-π/2
    2.94465521867234-1.57079632675     		φ = 1.37385889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77466030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.384766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37385889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.716316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2553 KachelY 539 0.77466030 1.37385889 44.384766 78.716316
    Oben rechts KachelX + 1 2554 KachelY 539 0.77619428 1.37385889 44.472656 78.716316
    Unten links KachelX 2553 KachelY + 1 540 0.77466030 1.37355852 44.384766 78.699106
    Unten rechts KachelX + 1 2554 KachelY + 1 540 0.77619428 1.37355852 44.472656 78.699106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37385889-1.37355852) × R
    0.000300369999999939 × 6371000     		dl = 1913.65726999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37385889-1.37355852) × R
    0.000300369999999939 × 6371000     		dr = 1913.65726999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77466030-0.77619428) × cos(1.37385889) × R
    0.00153398000000005 × 0.195666887958985 × 6371000     		do = 1912.24987017358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77466030-0.77619428) × cos(1.37355852) × R
    0.00153398000000005 × 0.195961443101301 × 6371000     		du = 1915.12855362651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37385889)-sin(1.37355852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195666887958985-0.195961443101301)×R²
    abs(0.77619428-0.77466030)×0.000294555142316022×R²
    0.00153398000000005×0.000294555142316022×6371000²
    0.00153398000000005×0.000294555142316022×40589641000000     		ar = 3662145.30041031m²