Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25529 / 24744
↖ ↑ ↗
← S 67.238062°
E100.469971°		 ← 472.66 m → S 67.238062°
E100.480957°		 →
↑
472.60 m
↓
↑
472.60 m
↓
S 67.242312°
E100.469971°		 ← 472.57 m →
223 358 m²		 S 67.242312°
E100.480957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779098510742188 y=0.755142211914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779098510742188 × 215)
    floor (0.779098510742188 × 32768)
    floor (25529.5)     		tx = 25529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755142211914062 × 215)
    floor (0.755142211914062 × 32768)
    floor (24744.5)     		ty = 24744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25529 / 24744 ti = "15/25529/24744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25529/24744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25529 ÷ 215
    25529 ÷ 32768     		x = 0.779083251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24744 ÷ 215
    24744 ÷ 32768     		y = 0.755126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779083251953125 × 2 - 1) × π
    0.55816650390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75353179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755126953125 × 2 - 1) × π
    -0.51025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60300992329468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75353179} λ = 1.75353179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60300992329468))-π/2
    2×atan(0.201289738599847)-π/2
    2×0.198635384973857-π/2
    0.397270769947714-1.57079632675     		φ = -1.17352556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75353179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.469971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17352556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.238062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25529 KachelY 24744 1.75353179 -1.17352556 100.469971 -67.238062
    Oben rechts KachelX + 1 25530 KachelY 24744 1.75372354 -1.17352556 100.480957 -67.238062
    Unten links KachelX 25529 KachelY + 1 24745 1.75353179 -1.17359974 100.469971 -67.242312
    Unten rechts KachelX + 1 25530 KachelY + 1 24745 1.75372354 -1.17359974 100.480957 -67.242312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17352556--1.17359974) × R
    7.41799999999238e-05 × 6371000     		dl = 472.600779999514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17352556--1.17359974) × R
    7.41799999999238e-05 × 6371000     		dr = 472.600779999514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75353179-1.75372354) × cos(-1.17352556) × R
    0.000191749999999935 × 0.386903104848635 × 6371000     		do = 472.656018829797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75353179-1.75372354) × cos(-1.17359974) × R
    0.000191749999999935 × 0.38683470089472 × 6371000     		du = 472.572453874841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17352556)-sin(-1.17359974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386903104848635-0.38683470089472)×R²
    abs(1.75372354-1.75353179)×6.84039539142756e-05×R²
    0.000191749999999935×6.84039539142756e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.84039539142756e-05×40589641000000     		ar = 223357.856840877m²