Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25529 / 24070
↖ ↑ ↗
← S 64.196814°
E100.469971°		 ← 531.76 m → S 64.196814°
E100.480957°		 →
↑
531.72 m
↓
↑
531.72 m
↓
S 64.201596°
E100.469971°		 ← 531.66 m →
282 723 m²		 S 64.201596°
E100.480957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779098510742188 y=0.734573364257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779098510742188 × 215)
    floor (0.779098510742188 × 32768)
    floor (25529.5)     		tx = 25529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734573364257812 × 215)
    floor (0.734573364257812 × 32768)
    floor (24070.5)     		ty = 24070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25529 / 24070 ti = "15/25529/24070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25529/24070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25529 ÷ 215
    25529 ÷ 32768     		x = 0.779083251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24070 ÷ 215
    24070 ÷ 32768     		y = 0.73455810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779083251953125 × 2 - 1) × π
    0.55816650390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75353179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73455810546875 × 2 - 1) × π
    -0.4691162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47377204191901
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75353179} λ = 1.75353179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47377204191901))-π/2
    2×atan(0.229059830288034)-π/2
    2×0.225175271279397-π/2
    0.450350542558793-1.57079632675     		φ = -1.12044578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75353179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.469971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12044578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.196814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25529 KachelY 24070 1.75353179 -1.12044578 100.469971 -64.196814
    Oben rechts KachelX + 1 25530 KachelY 24070 1.75372354 -1.12044578 100.480957 -64.196814
    Unten links KachelX 25529 KachelY + 1 24071 1.75353179 -1.12052924 100.469971 -64.201596
    Unten rechts KachelX + 1 25530 KachelY + 1 24071 1.75372354 -1.12052924 100.480957 -64.201596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12044578--1.12052924) × R
    8.34599999999242e-05 × 6371000     		dl = 531.723659999517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12044578--1.12052924) × R
    8.34599999999242e-05 × 6371000     		dr = 531.723659999517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75353179-1.75372354) × cos(-1.12044578) × R
    0.000191749999999935 × 0.435281156225523 × 6371000     		do = 531.7565452303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75353179-1.75372354) × cos(-1.12052924) × R
    0.000191749999999935 × 0.435206016124702 × 6371000     		du = 531.664751133888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12044578)-sin(-1.12052924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435281156225523-0.435206016124702)×R²
    abs(1.75372354-1.75353179)×7.51401008208252e-05×R²
    0.000191749999999935×7.51401008208252e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.51401008208252e-05×40589641000000     		ar = 282723.132076036m²