Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25528 / 24905
↖ ↑ ↗
← S 67.912750°
E100.458984°		 ← 459.36 m → S 67.912750°
E100.469971°		 →
↑
459.35 m
↓
↑
459.35 m
↓
S 67.916882°
E100.458984°		 ← 459.28 m →
210 987 m²		 S 67.916882°
E100.469971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779067993164062 y=0.760055541992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779067993164062 × 215)
    floor (0.779067993164062 × 32768)
    floor (25528.5)     		tx = 25528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760055541992188 × 215)
    floor (0.760055541992188 × 32768)
    floor (24905.5)     		ty = 24905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25528 / 24905 ti = "15/25528/24905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25528/24905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25528 ÷ 215
    25528 ÷ 32768     		x = 0.779052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24905 ÷ 215
    24905 ÷ 32768     		y = 0.760040283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779052734375 × 2 - 1) × π
    0.55810546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75334004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760040283203125 × 2 - 1) × π
    -0.52008056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63388128664999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75334004} λ = 1.75334004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63388128664999))-π/2
    2×atan(0.195170589158428)-π/2
    2×0.192747612317279-π/2
    0.385495224634558-1.57079632675     		φ = -1.18530110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75334004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.458984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18530110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.912750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25528 KachelY 24905 1.75334004 -1.18530110 100.458984 -67.912750
    Oben rechts KachelX + 1 25529 KachelY 24905 1.75353179 -1.18530110 100.469971 -67.912750
    Unten links KachelX 25528 KachelY + 1 24906 1.75334004 -1.18537320 100.458984 -67.916882
    Unten rechts KachelX + 1 25529 KachelY + 1 24906 1.75353179 -1.18537320 100.469971 -67.916882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18530110--1.18537320) × R
    7.20999999999083e-05 × 6371000     		dl = 459.349099999416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18530110--1.18537320) × R
    7.20999999999083e-05 × 6371000     		dr = 459.349099999416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75334004-1.75353179) × cos(-1.18530110) × R
    0.000191749999999935 × 0.37601806609321 × 6371000     		do = 459.358428248403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75334004-1.75353179) × cos(-1.18537320) × R
    0.000191749999999935 × 0.375951256366776 × 6371000     		du = 459.276810864311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18530110)-sin(-1.18537320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37601806609321-0.375951256366776)×R²
    abs(1.75353179-1.75334004)×6.68097264333589e-05×R²
    0.000191749999999935×6.68097264333589e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.68097264333589e-05×40589641000000     		ar = 210987.135249268m²