Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25527 / 24919
↖ ↑ ↗
← S 67.970514°
E100.447998°		 ← 458.22 m → S 67.970514°
E100.458984°		 →
↑
458.14 m
↓
↑
458.14 m
↓
S 67.974634°
E100.447998°		 ← 458.14 m →
209 908 m²		 S 67.974634°
E100.458984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779037475585938 y=0.760482788085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779037475585938 × 215)
    floor (0.779037475585938 × 32768)
    floor (25527.5)     		tx = 25527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760482788085938 × 215)
    floor (0.760482788085938 × 32768)
    floor (24919.5)     		ty = 24919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25527 / 24919 ti = "15/25527/24919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25527/24919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25527 ÷ 215
    25527 ÷ 32768     		x = 0.779022216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24919 ÷ 215
    24919 ÷ 32768     		y = 0.760467529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779022216796875 × 2 - 1) × π
    0.55804443359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75314829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760467529296875 × 2 - 1) × π
    -0.52093505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63656575302872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75314829} λ = 1.75314829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63656575302872))-π/2
    2×atan(0.194647362879606)-π/2
    2×0.192243535672475-π/2
    0.38448707134495-1.57079632675     		φ = -1.18630926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75314829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.447998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18630926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.970514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25527 KachelY 24919 1.75314829 -1.18630926 100.447998 -67.970514
    Oben rechts KachelX + 1 25528 KachelY 24919 1.75334004 -1.18630926 100.458984 -67.970514
    Unten links KachelX 25527 KachelY + 1 24920 1.75314829 -1.18638117 100.447998 -67.974634
    Unten rechts KachelX + 1 25528 KachelY + 1 24920 1.75334004 -1.18638117 100.458984 -67.974634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18630926--1.18638117) × R
    7.19099999999528e-05 × 6371000     		dl = 458.1386099997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18630926--1.18638117) × R
    7.19099999999528e-05 × 6371000     		dr = 458.1386099997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75314829-1.75334004) × cos(-1.18630926) × R
    0.000191750000000157 × 0.375083701672899 × 6371000     		do = 458.216971999279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75314829-1.75334004) × cos(-1.18638117) × R
    0.000191750000000157 × 0.375017040784134 × 6371000     		du = 458.135536441124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18630926)-sin(-1.18638117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375083701672899-0.375017040784134)×R²
    abs(1.75334004-1.75314829)×6.66608887648912e-05×R²
    0.000191750000000157×6.66608887648912e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.66608887648912e-05×40589641000000     		ar = 209908.23233362m²