Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25526 / 24904
↖ ↑ ↗
← S 67.908619°
E100.437012°		 ← 459.42 m → S 67.908619°
E100.447998°		 →
↑
459.35 m
↓
↑
459.35 m
↓
S 67.912750°
E100.437012°		 ← 459.33 m →
211 014 m²		 S 67.912750°
E100.447998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779006958007812 y=0.760025024414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779006958007812 × 215)
    floor (0.779006958007812 × 32768)
    floor (25526.5)     		tx = 25526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760025024414062 × 215)
    floor (0.760025024414062 × 32768)
    floor (24904.5)     		ty = 24904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25526 / 24904 ti = "15/25526/24904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25526/24904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25526 ÷ 215
    25526 ÷ 32768     		x = 0.77899169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24904 ÷ 215
    24904 ÷ 32768     		y = 0.760009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77899169921875 × 2 - 1) × π
    0.5579833984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75295655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760009765625 × 2 - 1) × π
    -0.52001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63368953905151
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75295655} λ = 1.75295655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63368953905151))-π/2
    2×atan(0.195208016238355)-π/2
    2×0.192783665800454-π/2
    0.385567331600909-1.57079632675     		φ = -1.18522900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75295655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.437012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18522900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.908619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25526 KachelY 24904 1.75295655 -1.18522900 100.437012 -67.908619
    Oben rechts KachelX + 1 25527 KachelY 24904 1.75314829 -1.18522900 100.447998 -67.908619
    Unten links KachelX 25526 KachelY + 1 24905 1.75295655 -1.18530110 100.437012 -67.912750
    Unten rechts KachelX + 1 25527 KachelY + 1 24905 1.75314829 -1.18530110 100.447998 -67.912750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18522900--1.18530110) × R
    7.20999999999083e-05 × 6371000     		dl = 459.349099999416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18522900--1.18530110) × R
    7.20999999999083e-05 × 6371000     		dr = 459.349099999416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75295655-1.75314829) × cos(-1.18522900) × R
    0.000191739999999996 × 0.376084873864947 × 6371000     		do = 459.416082877394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75295655-1.75314829) × cos(-1.18530110) × R
    0.000191739999999996 × 0.37601806609321 × 6371000     		du = 459.334472137558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18522900)-sin(-1.18530110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376084873864947-0.37601806609321)×R²
    abs(1.75314829-1.75295655)×6.68077717373428e-05×R²
    0.000191739999999996×6.68077717373428e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.68077717373428e-05×40589641000000     		ar = 211013.620375965m²