Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25525 / 24794
↖ ↑ ↗
← S 67.449657°
E100.426026°		 ← 468.49 m → S 67.449657°
E100.437012°		 →
↑
468.40 m
↓
↑
468.40 m
↓
S 67.453869°
E100.426026°		 ← 468.41 m →
219 421 m²		 S 67.453869°
E100.437012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778976440429688 y=0.756668090820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778976440429688 × 215)
    floor (0.778976440429688 × 32768)
    floor (25525.5)     		tx = 25525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756668090820312 × 215)
    floor (0.756668090820312 × 32768)
    floor (24794.5)     		ty = 24794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25525 / 24794 ti = "15/25525/24794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25525/24794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25525 ÷ 215
    25525 ÷ 32768     		x = 0.778961181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24794 ÷ 215
    24794 ÷ 32768     		y = 0.75665283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778961181640625 × 2 - 1) × π
    0.55792236328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75276480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75665283203125 × 2 - 1) × π
    -0.5133056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61259730321869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75276480} λ = 1.75276480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61259730321869))-π/2
    2×atan(0.199369118967717)-π/2
    2×0.196788869941505-π/2
    0.393577739883009-1.57079632675     		φ = -1.17721859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75276480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.426026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17721859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.449657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25525 KachelY 24794 1.75276480 -1.17721859 100.426026 -67.449657
    Oben rechts KachelX + 1 25526 KachelY 24794 1.75295655 -1.17721859 100.437012 -67.449657
    Unten links KachelX 25525 KachelY + 1 24795 1.75276480 -1.17729211 100.426026 -67.453869
    Unten rechts KachelX + 1 25526 KachelY + 1 24795 1.75295655 -1.17729211 100.437012 -67.453869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17721859--1.17729211) × R
    7.35199999999381e-05 × 6371000     		dl = 468.395919999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17721859--1.17729211) × R
    7.35199999999381e-05 × 6371000     		dr = 468.395919999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75276480-1.75295655) × cos(-1.17721859) × R
    0.000191749999999935 × 0.383495055997678 × 6371000     		do = 468.492612587552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75276480-1.75295655) × cos(-1.17729211) × R
    0.000191749999999935 × 0.383427156085154 × 6371000     		du = 468.409663389342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17721859)-sin(-1.17729211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383495055997678-0.383427156085154)×R²
    abs(1.75295655-1.75276480)×6.78999125234836e-05×R²
    0.000191749999999935×6.78999125234836e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.78999125234836e-05×40589641000000     		ar = 219420.601851814m²