Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25525 / 24410
↖ ↑ ↗
← S 65.775744°
E100.426026°		 ← 501.25 m → S 65.775744°
E100.437012°		 →
↑
501.21 m
↓
↑
501.21 m
↓
S 65.780251°
E100.426026°		 ← 501.16 m →
251 208 m²		 S 65.780251°
E100.437012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778976440429688 y=0.744949340820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778976440429688 × 215)
    floor (0.778976440429688 × 32768)
    floor (25525.5)     		tx = 25525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744949340820312 × 215)
    floor (0.744949340820312 × 32768)
    floor (24410.5)     		ty = 24410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25525 / 24410 ti = "15/25525/24410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25525/24410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25525 ÷ 215
    25525 ÷ 32768     		x = 0.778961181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24410 ÷ 215
    24410 ÷ 32768     		y = 0.74493408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778961181640625 × 2 - 1) × π
    0.55792236328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75276480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74493408203125 × 2 - 1) × π
    -0.4898681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.53896622540228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75276480} λ = 1.75276480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53896622540228))-π/2
    2×atan(0.214602837756809)-π/2
    2×0.211396514492515-π/2
    0.42279302898503-1.57079632675     		φ = -1.14800330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75276480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.426026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14800330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.775744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25525 KachelY 24410 1.75276480 -1.14800330 100.426026 -65.775744
    Oben rechts KachelX + 1 25526 KachelY 24410 1.75295655 -1.14800330 100.437012 -65.775744
    Unten links KachelX 25525 KachelY + 1 24411 1.75276480 -1.14808197 100.426026 -65.780251
    Unten rechts KachelX + 1 25526 KachelY + 1 24411 1.75295655 -1.14808197 100.437012 -65.780251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14800330--1.14808197) × R
    7.86699999999474e-05 × 6371000     		dl = 501.206569999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14800330--1.14808197) × R
    7.86699999999474e-05 × 6371000     		dr = 501.206569999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75276480-1.75295655) × cos(-1.14800330) × R
    0.000191749999999935 × 0.410309141151853 × 6371000     		do = 501.249751464724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75276480-1.75295655) × cos(-1.14808197) × R
    0.000191749999999935 × 0.410237397051516 × 6371000     		du = 501.162106055796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14800330)-sin(-1.14808197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410309141151853-0.410237397051516)×R²
    abs(1.75295655-1.75276480)×7.17441003373342e-05×R²
    0.000191749999999935×7.17441003373342e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.17441003373342e-05×40589641000000     		ar = 251207.704547108m²