Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25524 / 24021
↖ ↑ ↗
← S 63.961497°
E100.415039°		 ← 536.27 m → S 63.961497°
E100.426026°		 →
↑
536.18 m
↓
↑
536.18 m
↓
S 63.966319°
E100.415039°		 ← 536.18 m →
287 514 m²		 S 63.966319°
E100.426026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778945922851562 y=0.733078002929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778945922851562 × 215)
    floor (0.778945922851562 × 32768)
    floor (25524.5)     		tx = 25524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733078002929688 × 215)
    floor (0.733078002929688 × 32768)
    floor (24021.5)     		ty = 24021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25524 / 24021 ti = "15/25524/24021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25524/24021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25524 ÷ 215
    25524 ÷ 32768     		x = 0.7789306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24021 ÷ 215
    24021 ÷ 32768     		y = 0.733062744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7789306640625 × 2 - 1) × π
    0.557861328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75257305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733062744140625 × 2 - 1) × π
    -0.46612548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46437640959348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75257305} λ = 1.75257305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46437640959348))-π/2
    2×atan(0.231222134434386)-π/2
    2×0.227228809403228-π/2
    0.454457618806456-1.57079632675     		φ = -1.11633871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75257305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.415039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11633871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.961497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25524 KachelY 24021 1.75257305 -1.11633871 100.415039 -63.961497
    Oben rechts KachelX + 1 25525 KachelY 24021 1.75276480 -1.11633871 100.426026 -63.961497
    Unten links KachelX 25524 KachelY + 1 24022 1.75257305 -1.11642287 100.415039 -63.966319
    Unten rechts KachelX + 1 25525 KachelY + 1 24022 1.75276480 -1.11642287 100.426026 -63.966319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11633871--1.11642287) × R
    8.41600000001108e-05 × 6371000     		dl = 536.183360000706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11633871--1.11642287) × R
    8.41600000001108e-05 × 6371000     		dr = 536.183360000706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75257305-1.75276480) × cos(-1.11633871) × R
    0.000191749999999935 × 0.438975047493848 × 6371000     		do = 536.269147788918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75257305-1.75276480) × cos(-1.11642287) × R
    0.000191749999999935 × 0.438899428242194 × 6371000     		du = 536.176768343041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11633871)-sin(-1.11642287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438975047493848-0.438899428242194)×R²
    abs(1.75276480-1.75257305)×7.56192516544463e-05×R²
    0.000191749999999935×7.56192516544463e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.56192516544463e-05×40589641000000     		ar = 287513.827534895m²