Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25522 / 24122
↖ ↑ ↗
← S 64.444372°
E100.393066°		 ← 527 m → S 64.444372°
E100.404053°		 →
↑
526.95 m
↓
↑
526.95 m
↓
S 64.449111°
E100.393066°		 ← 526.91 m →
277 676 m²		 S 64.449111°
E100.404053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778884887695312 y=0.736160278320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778884887695312 × 215)
    floor (0.778884887695312 × 32768)
    floor (25522.5)     		tx = 25522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736160278320312 × 215)
    floor (0.736160278320312 × 32768)
    floor (24122.5)     		ty = 24122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25522 / 24122 ti = "15/25522/24122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25522/24122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25522 ÷ 215
    25522 ÷ 32768     		x = 0.77886962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24122 ÷ 215
    24122 ÷ 32768     		y = 0.73614501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77886962890625 × 2 - 1) × π
    0.5577392578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75218955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73614501953125 × 2 - 1) × π
    -0.4722900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48374291703998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75218955} λ = 1.75218955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48374291703998))-π/2
    2×atan(0.226787251950373)-π/2
    2×0.223014921977474-π/2
    0.446029843954949-1.57079632675     		φ = -1.12476648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75218955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.393066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12476648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.444372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25522 KachelY 24122 1.75218955 -1.12476648 100.393066 -64.444372
    Oben rechts KachelX + 1 25523 KachelY 24122 1.75238130 -1.12476648 100.404053 -64.444372
    Unten links KachelX 25522 KachelY + 1 24123 1.75218955 -1.12484919 100.393066 -64.449111
    Unten rechts KachelX + 1 25523 KachelY + 1 24123 1.75238130 -1.12484919 100.404053 -64.449111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12476648--1.12484919) × R
    8.27100000000414e-05 × 6371000     		dl = 526.945410000264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12476648--1.12484919) × R
    8.27100000000414e-05 × 6371000     		dr = 526.945410000264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75218955-1.75238130) × cos(-1.12476648) × R
    0.000191749999999935 × 0.431387202568955 × 6371000     		do = 526.999538605757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75218955-1.75238130) × cos(-1.12484919) × R
    0.000191749999999935 × 0.431312582870751 × 6371000     		du = 526.908380253609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12476648)-sin(-1.12484919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431387202568955-0.431312582870751)×R²
    abs(1.75238130-1.75218955)×7.4619698203493e-05×R²
    0.000191749999999935×7.4619698203493e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.4619698203493e-05×40589641000000     		ar = 277675.970361379m²