Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25520 / 24361
↖ ↑ ↗
← S 65.553914°
E100.371094°		 ← 505.56 m → S 65.553914°
E100.382080°		 →
↑
505.54 m
↓
↑
505.54 m
↓
S 65.558460°
E100.371094°		 ← 505.47 m →
255 558 m²		 S 65.558460°
E100.382080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778823852539062 y=0.743453979492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778823852539062 × 215)
    floor (0.778823852539062 × 32768)
    floor (25520.5)     		tx = 25520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743453979492188 × 215)
    floor (0.743453979492188 × 32768)
    floor (24361.5)     		ty = 24361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25520 / 24361 ti = "15/25520/24361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25520/24361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25520 ÷ 215
    25520 ÷ 32768     		x = 0.77880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24361 ÷ 215
    24361 ÷ 32768     		y = 0.743438720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77880859375 × 2 - 1) × π
    0.5576171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75180606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743438720703125 × 2 - 1) × π
    -0.48687744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52957059307675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75180606} λ = 1.75180606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52957059307675))-π/2
    2×atan(0.216628669197079)-π/2
    2×0.213332348183611-π/2
    0.426664696367221-1.57079632675     		φ = -1.14413163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75180606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.371094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14413163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.553914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25520 KachelY 24361 1.75180606 -1.14413163 100.371094 -65.553914
    Oben rechts KachelX + 1 25521 KachelY 24361 1.75199781 -1.14413163 100.382080 -65.553914
    Unten links KachelX 25520 KachelY + 1 24362 1.75180606 -1.14421098 100.371094 -65.558460
    Unten rechts KachelX + 1 25521 KachelY + 1 24362 1.75199781 -1.14421098 100.382080 -65.558460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14413163--1.14421098) × R
    7.93500000000336e-05 × 6371000     		dl = 505.538850000214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14413163--1.14421098) × R
    7.93500000000336e-05 × 6371000     		dr = 505.538850000214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75180606-1.75199781) × cos(-1.14413163) × R
    0.000191749999999935 × 0.413836812987006 × 6371000     		do = 505.559293839665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75180606-1.75199781) × cos(-1.14421098) × R
    0.000191749999999935 × 0.413764575325891 × 6371000     		du = 505.471045477519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14413163)-sin(-1.14421098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413836812987006-0.413764575325891)×R²
    abs(1.75199781-1.75180606)×7.22376611143605e-05×R²
    0.000191749999999935×7.22376611143605e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.22376611143605e-05×40589641000000     		ar = 255557.557660892m²