Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25520 / 24177
↖ ↑ ↗
← S 64.703800°
E100.371094°		 ← 522 m → S 64.703800°
E100.382080°		 →
↑
521.98 m
↓
↑
521.98 m
↓
S 64.708494°
E100.371094°		 ← 521.91 m →
272 450 m²		 S 64.708494°
E100.382080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778823852539062 y=0.737838745117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778823852539062 × 215)
    floor (0.778823852539062 × 32768)
    floor (25520.5)     		tx = 25520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737838745117188 × 215)
    floor (0.737838745117188 × 32768)
    floor (24177.5)     		ty = 24177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25520 / 24177 ti = "15/25520/24177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25520/24177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25520 ÷ 215
    25520 ÷ 32768     		x = 0.77880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24177 ÷ 215
    24177 ÷ 32768     		y = 0.737823486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77880859375 × 2 - 1) × π
    0.5576171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75180606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737823486328125 × 2 - 1) × π
    -0.47564697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49428903495639
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75180606} λ = 1.75180606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49428903495639))-π/2
    2×atan(0.224408094338627)-π/2
    2×0.220750986653255-π/2
    0.441501973306511-1.57079632675     		φ = -1.12929435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75180606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.371094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12929435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.703800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25520 KachelY 24177 1.75180606 -1.12929435 100.371094 -64.703800
    Oben rechts KachelX + 1 25521 KachelY 24177 1.75199781 -1.12929435 100.382080 -64.703800
    Unten links KachelX 25520 KachelY + 1 24178 1.75180606 -1.12937628 100.371094 -64.708494
    Unten rechts KachelX + 1 25521 KachelY + 1 24178 1.75199781 -1.12937628 100.382080 -64.708494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12929435--1.12937628) × R
    8.19300000001189e-05 × 6371000     		dl = 521.976030000757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12929435--1.12937628) × R
    8.19300000001189e-05 × 6371000     		dr = 521.976030000757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75180606-1.75199781) × cos(-1.12929435) × R
    0.000191749999999935 × 0.42729790011273 × 6371000     		do = 522.003886220114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75180606-1.75199781) × cos(-1.12937628) × R
    0.000191749999999935 × 0.427223824873329 × 6371000     		du = 521.913393000208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12929435)-sin(-1.12937628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42729790011273-0.427223824873329)×R²
    abs(1.75199781-1.75180606)×7.40752394012278e-05×R²
    0.000191749999999935×7.40752394012278e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.40752394012278e-05×40589641000000     		ar = 272449.898680792m²