Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2552 / 540
↖ ↑ ↗
← N 78.699106°
E 44.296875°		 ← 1 915.13 m → N 78.699106°
E 44.384766°		 →
↑
1 916.59 m
↓
↑
1 916.59 m
↓
N 78.681870°
E 44.296875°		 ← 1 918.01 m →
3 673 275 m²		 N 78.681870°
E 44.384766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6231689453125 y=0.1319580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6231689453125 × 212)
    floor (0.6231689453125 × 4096)
    floor (2552.5)     		tx = 2552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1319580078125 × 212)
    floor (0.1319580078125 × 4096)
    floor (540.5)     		ty = 540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2552 / 540 ti = "12/2552/540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2552/540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2552 ÷ 212
    2552 ÷ 4096     		x = 0.623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 540 ÷ 212
    540 ÷ 4096     		y = 0.1318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623046875 × 2 - 1) × π
    0.24609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77312632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1318359375 × 2 - 1) × π
    0.736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31324302806543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77312632} λ = 0.77312632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31324302806543))-π/2
    2×atan(10.1071493317543)-π/2
    2×1.47217742177889-π/2
    2.94435484355779-1.57079632675     		φ = 1.37355852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77312632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37355852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.699106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2552 KachelY 540 0.77312632 1.37355852 44.296875 78.699106
    Oben rechts KachelX + 1 2553 KachelY 540 0.77466030 1.37355852 44.384766 78.699106
    Unten links KachelX 2552 KachelY + 1 541 0.77312632 1.37325769 44.296875 78.681870
    Unten rechts KachelX + 1 2553 KachelY + 1 541 0.77466030 1.37325769 44.384766 78.681870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37355852-1.37325769) × R
    0.00030083000000003 × 6371000     		dl = 1916.58793000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37355852-1.37325769) × R
    0.00030083000000003 × 6371000     		dr = 1916.58793000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77312632-0.77466030) × cos(1.37355852) × R
    0.00153397999999993 × 0.195961443101301 × 6371000     		do = 1915.12855362637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77312632-0.77466030) × cos(1.37325769) × R
    0.00153397999999993 × 0.196256431617777 × 6371000     		du = 1918.01147243914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37355852)-sin(1.37325769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195961443101301-0.196256431617777)×R²
    abs(0.77466030-0.77312632)×0.000294988516475608×R²
    0.00153397999999993×0.000294988516475608×6371000²
    0.00153397999999993×0.000294988516475608×40589641000000     		ar = 3673274.98167999m²