Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25518 / 24018
↖ ↑ ↗
← S 63.947025°
E100.349121°		 ← 536.55 m → S 63.947025°
E100.360107°		 →
↑
536.44 m
↓
↑
536.44 m
↓
S 63.951849°
E100.349121°		 ← 536.45 m →
287 799 m²		 S 63.951849°
E100.360107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778762817382812 y=0.732986450195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778762817382812 × 215)
    floor (0.778762817382812 × 32768)
    floor (25518.5)     		tx = 25518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732986450195312 × 215)
    floor (0.732986450195312 × 32768)
    floor (24018.5)     		ty = 24018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25518 / 24018 ti = "15/25518/24018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25518/24018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25518 ÷ 215
    25518 ÷ 32768     		x = 0.77874755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24018 ÷ 215
    24018 ÷ 32768     		y = 0.73297119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77874755859375 × 2 - 1) × π
    0.5574951171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75142256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73297119140625 × 2 - 1) × π
    -0.4659423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46380116679803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75142256} λ = 1.75142256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46380116679803))-π/2
    2×atan(0.231355181564899)-π/2
    2×0.227355100653464-π/2
    0.454710201306929-1.57079632675     		φ = -1.11608613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75142256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.349121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11608613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.947025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25518 KachelY 24018 1.75142256 -1.11608613 100.349121 -63.947025
    Oben rechts KachelX + 1 25519 KachelY 24018 1.75161431 -1.11608613 100.360107 -63.947025
    Unten links KachelX 25518 KachelY + 1 24019 1.75142256 -1.11617033 100.349121 -63.951849
    Unten rechts KachelX + 1 25519 KachelY + 1 24019 1.75161431 -1.11617033 100.360107 -63.951849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11608613--1.11617033) × R
    8.42000000000898e-05 × 6371000     		dl = 536.438200000572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11608613--1.11617033) × R
    8.42000000000898e-05 × 6371000     		dr = 536.438200000572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75142256-1.75161431) × cos(-1.11608613) × R
    0.000191749999999935 × 0.439201976430193 × 6371000     		do = 536.546373084517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75142256-1.75161431) × cos(-1.11617033) × R
    0.000191749999999935 × 0.439126330574485 × 6371000     		du = 536.453961138084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11608613)-sin(-1.11617033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439201976430193-0.439126330574485)×R²
    abs(1.75161431-1.75142256)×7.56458557079065e-05×R²
    0.000191749999999935×7.56458557079065e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.56458557079065e-05×40589641000000     		ar = 287799.184115469m²