Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25518 / 24016
↖ ↑ ↗
← S 63.937372°
E100.349121°		 ← 536.73 m → S 63.937372°
E100.360107°		 →
↑
536.69 m
↓
↑
536.69 m
↓
S 63.942199°
E100.349121°		 ← 536.64 m →
288 035 m²		 S 63.942199°
E100.360107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778762817382812 y=0.732925415039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778762817382812 × 215)
    floor (0.778762817382812 × 32768)
    floor (25518.5)     		tx = 25518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732925415039062 × 215)
    floor (0.732925415039062 × 32768)
    floor (24016.5)     		ty = 24016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25518 / 24016 ti = "15/25518/24016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25518/24016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25518 ÷ 215
    25518 ÷ 32768     		x = 0.77874755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24016 ÷ 215
    24016 ÷ 32768     		y = 0.73291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77874755859375 × 2 - 1) × π
    0.5574951171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75142256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73291015625 × 2 - 1) × π
    -0.4658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46341767160107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75142256} λ = 1.75142256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46341767160107))-π/2
    2×atan(0.231443922180533)-π/2
    2×0.227439331087094-π/2
    0.454878662174187-1.57079632675     		φ = -1.11591766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75142256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.349121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11591766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.937372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25518 KachelY 24016 1.75142256 -1.11591766 100.349121 -63.937372
    Oben rechts KachelX + 1 25519 KachelY 24016 1.75161431 -1.11591766 100.360107 -63.937372
    Unten links KachelX 25518 KachelY + 1 24017 1.75142256 -1.11600190 100.349121 -63.942199
    Unten rechts KachelX + 1 25519 KachelY + 1 24017 1.75161431 -1.11600190 100.360107 -63.942199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11591766--1.11600190) × R
    8.42400000000687e-05 × 6371000     		dl = 536.693040000438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11591766--1.11600190) × R
    8.42400000000687e-05 × 6371000     		dr = 536.693040000438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75142256-1.75161431) × cos(-1.11591766) × R
    0.000191749999999935 × 0.439353321681726 × 6371000     		do = 536.73126238409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75142256-1.75161431) × cos(-1.11600190) × R
    0.000191749999999935 × 0.439277646122658 × 6371000     		du = 536.638814150867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11591766)-sin(-1.11600190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439353321681726-0.439277646122658)×R²
    abs(1.75161431-1.75142256)×7.56755590681779e-05×R²
    0.000191749999999935×7.56755590681779e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.56755590681779e-05×40589641000000     		ar = 288035.124880855m²