Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25516 / 24372
↖ ↑ ↗
← S 65.603878°
E100.327148°		 ← 504.59 m → S 65.603878°
E100.338135°		 →
↑
504.52 m
↓
↑
504.52 m
↓
S 65.608415°
E100.327148°		 ← 504.50 m →
254 553 m²		 S 65.608415°
E100.338135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778701782226562 y=0.743789672851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778701782226562 × 215)
    floor (0.778701782226562 × 32768)
    floor (25516.5)     		tx = 25516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743789672851562 × 215)
    floor (0.743789672851562 × 32768)
    floor (24372.5)     		ty = 24372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25516 / 24372 ti = "15/25516/24372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25516/24372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25516 ÷ 215
    25516 ÷ 32768     		x = 0.7786865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24372 ÷ 215
    24372 ÷ 32768     		y = 0.7437744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7786865234375 × 2 - 1) × π
    0.557373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75103907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7437744140625 × 2 - 1) × π
    -0.487548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53167981666003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75103907} λ = 1.75103907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53167981666003))-π/2
    2×atan(0.216172232432006)-π/2
    2×0.212896329797392-π/2
    0.425792659594785-1.57079632675     		φ = -1.14500367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75103907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.327148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14500367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.603878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25516 KachelY 24372 1.75103907 -1.14500367 100.327148 -65.603878
    Oben rechts KachelX + 1 25517 KachelY 24372 1.75123082 -1.14500367 100.338135 -65.603878
    Unten links KachelX 25516 KachelY + 1 24373 1.75103907 -1.14508286 100.327148 -65.608415
    Unten rechts KachelX + 1 25517 KachelY + 1 24373 1.75123082 -1.14508286 100.338135 -65.608415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14500367--1.14508286) × R
    7.91900000001178e-05 × 6371000     		dl = 504.51949000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14500367--1.14508286) × R
    7.91900000001178e-05 × 6371000     		dr = 504.51949000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75103907-1.75123082) × cos(-1.14500367) × R
    0.000191749999999935 × 0.413042793178339 × 6371000     		do = 504.58928807612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75103907-1.75123082) × cos(-1.14508286) × R
    0.000191749999999935 × 0.412970672630284 × 6371000     		du = 504.501182783885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14500367)-sin(-1.14508286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413042793178339-0.412970672630284)×R²
    abs(1.75123082-1.75103907)×7.21205480546105e-05×R²
    0.000191749999999935×7.21205480546105e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.21205480546105e-05×40589641000000     		ar = 254552.904994426m²