Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25514 / 24933
↖ ↑ ↗
← S 68.028133°
E100.305176°		 ← 457.08 m → S 68.028133°
E100.316162°		 →
↑
457.06 m
↓
↑
457.06 m
↓
S 68.032243°
E100.305176°		 ← 457 m →
208 891 m²		 S 68.032243°
E100.316162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778640747070312 y=0.760910034179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778640747070312 × 215)
    floor (0.778640747070312 × 32768)
    floor (25514.5)     		tx = 25514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760910034179688 × 215)
    floor (0.760910034179688 × 32768)
    floor (24933.5)     		ty = 24933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25514 / 24933 ti = "15/25514/24933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25514/24933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25514 ÷ 215
    25514 ÷ 32768     		x = 0.77862548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24933 ÷ 215
    24933 ÷ 32768     		y = 0.760894775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77862548828125 × 2 - 1) × π
    0.5572509765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75065557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760894775390625 × 2 - 1) × π
    -0.52178955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63925021940744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75065557} λ = 1.75065557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63925021940744))-π/2
    2×atan(0.194125539300546)-π/2
    2×0.191740711850543-π/2
    0.383481423701086-1.57079632675     		φ = -1.18731490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75065557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.305176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18731490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.028133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25514 KachelY 24933 1.75065557 -1.18731490 100.305176 -68.028133
    Oben rechts KachelX + 1 25515 KachelY 24933 1.75084732 -1.18731490 100.316162 -68.028133
    Unten links KachelX 25514 KachelY + 1 24934 1.75065557 -1.18738664 100.305176 -68.032243
    Unten rechts KachelX + 1 25515 KachelY + 1 24934 1.75084732 -1.18738664 100.316162 -68.032243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18731490--1.18738664) × R
    7.17399999998758e-05 × 6371000     		dl = 457.055539999209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18731490--1.18738664) × R
    7.17399999998758e-05 × 6371000     		dr = 457.055539999209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75065557-1.75084732) × cos(-1.18731490) × R
    0.000191750000000157 × 0.374151292990314 × 6371000     		do = 457.077904955592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75065557-1.75084732) × cos(-1.18738664) × R
    0.000191750000000157 × 0.374084762670352 × 6371000     		du = 456.996628905411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18731490)-sin(-1.18738664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374151292990314-0.374084762670352)×R²
    abs(1.75084732-1.75065557)×6.65303199616774e-05×R²
    0.000191750000000157×6.65303199616774e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.65303199616774e-05×40589641000000     		ar = 208891.414926533m²