Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25511 / 24391
↖ ↑ ↗
← S 65.689953°
E100.272217°		 ← 502.92 m → S 65.689953°
E100.283203°		 →
↑
502.86 m
↓
↑
502.86 m
↓
S 65.694476°
E100.272217°		 ← 502.83 m →
252 876 m²		 S 65.694476°
E100.283203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778549194335938 y=0.744369506835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778549194335938 × 215)
    floor (0.778549194335938 × 32768)
    floor (25511.5)     		tx = 25511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744369506835938 × 215)
    floor (0.744369506835938 × 32768)
    floor (24391.5)     		ty = 24391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25511 / 24391 ti = "15/25511/24391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25511/24391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25511 ÷ 215
    25511 ÷ 32768     		x = 0.778533935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24391 ÷ 215
    24391 ÷ 32768     		y = 0.744354248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778533935546875 × 2 - 1) × π
    0.55706787109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75008033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744354248046875 × 2 - 1) × π
    -0.48870849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53532302103116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75008033} λ = 1.75008033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53532302103116))-π/2
    2×atan(0.215386105689603)-π/2
    2×0.212145177238052-π/2
    0.424290354476105-1.57079632675     		φ = -1.14650597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75008033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.272217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14650597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.689953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25511 KachelY 24391 1.75008033 -1.14650597 100.272217 -65.689953
    Oben rechts KachelX + 1 25512 KachelY 24391 1.75027208 -1.14650597 100.283203 -65.689953
    Unten links KachelX 25511 KachelY + 1 24392 1.75008033 -1.14658490 100.272217 -65.694476
    Unten rechts KachelX + 1 25512 KachelY + 1 24392 1.75027208 -1.14658490 100.283203 -65.694476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14650597--1.14658490) × R
    7.89299999999216e-05 × 6371000     		dl = 502.8630299995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14650597--1.14658490) × R
    7.89299999999216e-05 × 6371000     		dr = 502.8630299995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75008033-1.75027208) × cos(-1.14650597) × R
    0.000191749999999935 × 0.411674165530237 × 6371000     		do = 502.917318822564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75008033-1.75027208) × cos(-1.14658490) × R
    0.000191749999999935 × 0.411602232883906 × 6371000     		du = 502.82944307845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14650597)-sin(-1.14658490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411674165530237-0.411602232883906)×R²
    abs(1.75027208-1.75008033)×7.19326463313741e-05×R²
    0.000191749999999935×7.19326463313741e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.19326463313741e-05×40589641000000     		ar = 252876.432181707m²