Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25511 / 24059
↖ ↑ ↗
← S 64.144161°
E100.272217°		 ← 532.77 m → S 64.144161°
E100.283203°		 →
↑
532.68 m
↓
↑
532.68 m
↓
S 64.148952°
E100.272217°		 ← 532.68 m →
283 769 m²		 S 64.148952°
E100.283203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778549194335938 y=0.734237670898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778549194335938 × 215)
    floor (0.778549194335938 × 32768)
    floor (25511.5)     		tx = 25511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734237670898438 × 215)
    floor (0.734237670898438 × 32768)
    floor (24059.5)     		ty = 24059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25511 / 24059 ti = "15/25511/24059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25511/24059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25511 ÷ 215
    25511 ÷ 32768     		x = 0.778533935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24059 ÷ 215
    24059 ÷ 32768     		y = 0.734222412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778533935546875 × 2 - 1) × π
    0.55706787109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75008033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734222412109375 × 2 - 1) × π
    -0.46844482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47166281833572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75008033} λ = 1.75008033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47166281833572))-π/2
    2×atan(0.229543478565931)-π/2
    2×0.22563475997948-π/2
    0.45126951995896-1.57079632675     		φ = -1.11952681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75008033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.272217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11952681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.144161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25511 KachelY 24059 1.75008033 -1.11952681 100.272217 -64.144161
    Oben rechts KachelX + 1 25512 KachelY 24059 1.75027208 -1.11952681 100.283203 -64.144161
    Unten links KachelX 25511 KachelY + 1 24060 1.75008033 -1.11961042 100.272217 -64.148952
    Unten rechts KachelX + 1 25512 KachelY + 1 24060 1.75027208 -1.11961042 100.283203 -64.148952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11952681--1.11961042) × R
    8.36100000001228e-05 × 6371000     		dl = 532.679310000782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11952681--1.11961042) × R
    8.36100000001228e-05 × 6371000     		dr = 532.679310000782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75008033-1.75027208) × cos(-1.11952681) × R
    0.000191749999999935 × 0.43610831601249 × 6371000     		do = 532.767036092081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75008033-1.75027208) × cos(-1.11961042) × R
    0.000191749999999935 × 0.436033074335782 × 6371000     		du = 532.675117906578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11952681)-sin(-1.11961042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43610831601249-0.436033074335782)×R²
    abs(1.75027208-1.75008033)×7.52416767086372e-05×R²
    0.000191749999999935×7.52416767086372e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.52416767086372e-05×40589641000000     		ar = 283769.495884826m²