Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25510 / 24041
↖ ↑ ↗
← S 64.057785°
E100.261230°		 ← 534.42 m → S 64.057785°
E100.272217°		 →
↑
534.34 m
↓
↑
534.34 m
↓
S 64.062590°
E100.261230°		 ← 534.33 m →
285 537 m²		 S 64.062590°
E100.272217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778518676757812 y=0.733688354492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778518676757812 × 215)
    floor (0.778518676757812 × 32768)
    floor (25510.5)     		tx = 25510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733688354492188 × 215)
    floor (0.733688354492188 × 32768)
    floor (24041.5)     		ty = 24041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25510 / 24041 ti = "15/25510/24041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25510/24041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25510 ÷ 215
    25510 ÷ 32768     		x = 0.77850341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24041 ÷ 215
    24041 ÷ 32768     		y = 0.733673095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77850341796875 × 2 - 1) × π
    0.5570068359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74988858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733673095703125 × 2 - 1) × π
    -0.46734619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.46821136156308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74988858} λ = 1.74988858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46821136156308))-π/2
    2×atan(0.230337106758499)-π/2
    2×0.226388534184966-π/2
    0.452777068369931-1.57079632675     		φ = -1.11801926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74988858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.261230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11801926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.057785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25510 KachelY 24041 1.74988858 -1.11801926 100.261230 -64.057785
    Oben rechts KachelX + 1 25511 KachelY 24041 1.75008033 -1.11801926 100.272217 -64.057785
    Unten links KachelX 25510 KachelY + 1 24042 1.74988858 -1.11810313 100.261230 -64.062590
    Unten rechts KachelX + 1 25511 KachelY + 1 24042 1.75008033 -1.11810313 100.272217 -64.062590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11801926--1.11810313) × R
    8.38699999998749e-05 × 6371000     		dl = 534.335769999203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11801926--1.11810313) × R
    8.38699999998749e-05 × 6371000     		dr = 534.335769999203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74988858-1.75008033) × cos(-1.11801926) × R
    0.000191750000000157 × 0.437464455397821 × 6371000     		do = 534.423749194291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74988858-1.75008033) × cos(-1.11810313) × R
    0.000191750000000157 × 0.437389034960865 × 6371000     		du = 534.331612628252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11801926)-sin(-1.11810313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437464455397821-0.437389034960865)×R²
    abs(1.75008033-1.74988858)×7.54204369565747e-05×R²
    0.000191750000000157×7.54204369565747e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.54204369565747e-05×40589641000000     		ar = 285537.109766901m²