Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25509 / 24419
↖ ↑ ↗
← S 65.816282°
E100.250244°		 ← 500.44 m → S 65.816282°
E100.261230°		 →
↑
500.44 m
↓
↑
500.44 m
↓
S 65.820782°
E100.250244°		 ← 500.35 m →
250 417 m²		 S 65.820782°
E100.261230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778488159179688 y=0.745223999023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778488159179688 × 215)
    floor (0.778488159179688 × 32768)
    floor (25509.5)     		tx = 25509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745223999023438 × 215)
    floor (0.745223999023438 × 32768)
    floor (24419.5)     		ty = 24419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25509 / 24419 ti = "15/25509/24419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25509/24419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25509 ÷ 215
    25509 ÷ 32768     		x = 0.778472900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24419 ÷ 215
    24419 ÷ 32768     		y = 0.745208740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778472900390625 × 2 - 1) × π
    0.55694580078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.74969684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745208740234375 × 2 - 1) × π
    -0.49041748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5406919537886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74969684} λ = 1.74969684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5406919537886))-π/2
    2×atan(0.214232810922645)-π/2
    2×0.211042751898154-π/2
    0.422085503796308-1.57079632675     		φ = -1.14871082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74969684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.250244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14871082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.816282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25509 KachelY 24419 1.74969684 -1.14871082 100.250244 -65.816282
    Oben rechts KachelX + 1 25510 KachelY 24419 1.74988858 -1.14871082 100.261230 -65.816282
    Unten links KachelX 25509 KachelY + 1 24420 1.74969684 -1.14878937 100.250244 -65.820782
    Unten rechts KachelX + 1 25510 KachelY + 1 24420 1.74988858 -1.14878937 100.261230 -65.820782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14871082--1.14878937) × R
    7.85500000000106e-05 × 6371000     		dl = 500.442050000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14871082--1.14878937) × R
    7.85500000000106e-05 × 6371000     		dr = 500.442050000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74969684-1.74988858) × cos(-1.14871082) × R
    0.000191739999999996 × 0.409663818124747 × 6371000     		do = 500.435299844189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74969684-1.74988858) × cos(-1.14878937) × R
    0.000191739999999996 × 0.409592160678565 × 6371000     		du = 500.347764860674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14871082)-sin(-1.14878937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409663818124747-0.409592160678565)×R²
    abs(1.74988858-1.74969684)×7.1657446181872e-05×R²
    0.000191739999999996×7.1657446181872e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.1657446181872e-05×40589641000000     		ar = 250416.964382245m²