Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25509 / 24039
↖ ↑ ↗
← S 64.048171°
E100.250244°		 ← 534.58 m → S 64.048171°
E100.261230°		 →
↑
534.59 m
↓
↑
534.59 m
↓
S 64.052978°
E100.250244°		 ← 534.49 m →
285 757 m²		 S 64.052978°
E100.261230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778488159179688 y=0.733627319335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778488159179688 × 215)
    floor (0.778488159179688 × 32768)
    floor (25509.5)     		tx = 25509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733627319335938 × 215)
    floor (0.733627319335938 × 32768)
    floor (24039.5)     		ty = 24039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25509 / 24039 ti = "15/25509/24039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25509/24039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25509 ÷ 215
    25509 ÷ 32768     		x = 0.778472900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24039 ÷ 215
    24039 ÷ 32768     		y = 0.733612060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778472900390625 × 2 - 1) × π
    0.55694580078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.74969684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733612060546875 × 2 - 1) × π
    -0.46722412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46782786636612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74969684} λ = 1.74969684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46782786636612))-π/2
    2×atan(0.230425456872462)-π/2
    2×0.226472431408842-π/2
    0.452944862817684-1.57079632675     		φ = -1.11785146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74969684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.250244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11785146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.048171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25509 KachelY 24039 1.74969684 -1.11785146 100.250244 -64.048171
    Oben rechts KachelX + 1 25510 KachelY 24039 1.74988858 -1.11785146 100.261230 -64.048171
    Unten links KachelX 25509 KachelY + 1 24040 1.74969684 -1.11793537 100.250244 -64.052978
    Unten rechts KachelX + 1 25510 KachelY + 1 24040 1.74988858 -1.11793537 100.261230 -64.052978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11785146--1.11793537) × R
    8.39100000000759e-05 × 6371000     		dl = 534.590610000483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11785146--1.11793537) × R
    8.39100000000759e-05 × 6371000     		dr = 534.590610000483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74969684-1.74988858) × cos(-1.11785146) × R
    0.000191739999999996 × 0.437615340989335 × 6371000     		do = 534.580196481319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74969684-1.74988858) × cos(-1.11793537) × R
    0.000191739999999996 × 0.437539890741556 × 6371000     		du = 534.488028304145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11785146)-sin(-1.11793537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437615340989335-0.437539890741556)×R²
    abs(1.74988858-1.74969684)×7.5450247779163e-05×R²
    0.000191739999999996×7.5450247779163e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.5450247779163e-05×40589641000000     		ar = 285756.917377095m²