Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 25505 / 58037
↖ ↑ ↗
← N 20.166833°
W109.948425°		 ← 286.70 m → N 20.166833°
W109.945679°		 →
↑
286.69 m
↓
↑
286.69 m
↓
N 20.164255°
W109.948425°		 ← 286.71 m →
82 196 m²		 N 20.164255°
W109.945679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.194591522216797 y=0.442790985107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.194591522216797 × 217)
    floor (0.194591522216797 × 131072)
    floor (25505.5)     		tx = 25505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442790985107422 × 217)
    floor (0.442790985107422 × 131072)
    floor (58037.5)     		ty = 58037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 25505 / 58037 ti = "17/25505/58037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/25505/58037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25505 ÷ 217
    25505 ÷ 131072     		x = 0.194587707519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58037 ÷ 217
    58037 ÷ 131072     		y = 0.442787170410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.194587707519531 × 2 - 1) × π
    -0.610824584960938 × 3.1415926535     		Λ = -1.91896203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442787170410156 × 2 - 1) × π
    0.114425659179688 × 3.1415926535     		Φ = 0.359478810250801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.91896203} λ = -1.91896203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.359478810250801))-π/2
    2×atan(1.43258257260234)-π/2
    2×0.961386981623758-π/2
    1.92277396324752-1.57079632675     		φ = 0.35197764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.91896203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -109.948425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35197764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.166833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25505 KachelY 58037 -1.91896203 0.35197764 -109.948425 20.166833
    Oben rechts KachelX + 1 25506 KachelY 58037 -1.91891409 0.35197764 -109.945679 20.166833
    Unten links KachelX 25505 KachelY + 1 58038 -1.91896203 0.35193264 -109.948425 20.164255
    Unten rechts KachelX + 1 25506 KachelY + 1 58038 -1.91891409 0.35193264 -109.945679 20.164255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35197764-0.35193264) × R
    4.49999999999617e-05 × 6371000     		dl = 286.694999999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35197764-0.35193264) × R
    4.49999999999617e-05 × 6371000     		dr = 286.694999999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.91896203--1.91891409) × cos(0.35197764) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.938692747898568 × 6371000     		do = 286.700927160693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.91896203--1.91891409) × cos(0.35193264) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.93870826091759 × 6371000     		du = 286.705665236008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35197764)-sin(0.35193264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938692747898568-0.93870826091759)×R²
    abs(-1.91891409--1.91896203)×1.55130190221398e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.55130190221398e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.55130190221398e-05×40589641000000     		ar = 82196.4015174502m²