Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25505 / 24067
↖ ↑ ↗
← S 64.182465°
E100.206299°		 ← 532 m → S 64.182465°
E100.217285°		 →
↑
531.98 m
↓
↑
531.98 m
↓
S 64.187249°
E100.206299°		 ← 531.91 m →
282 990 m²		 S 64.187249°
E100.217285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778366088867188 y=0.734481811523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778366088867188 × 215)
    floor (0.778366088867188 × 32768)
    floor (25505.5)     		tx = 25505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734481811523438 × 215)
    floor (0.734481811523438 × 32768)
    floor (24067.5)     		ty = 24067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25505 / 24067 ti = "15/25505/24067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25505/24067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25505 ÷ 215
    25505 ÷ 32768     		x = 0.778350830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24067 ÷ 215
    24067 ÷ 32768     		y = 0.734466552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778350830078125 × 2 - 1) × π
    0.55670166015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74892985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734466552734375 × 2 - 1) × π
    -0.46893310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47319679912357
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74892985} λ = 1.74892985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47319679912357))-π/2
    2×atan(0.229191633210838)-π/2
    2×0.225300499875939-π/2
    0.450600999751877-1.57079632675     		φ = -1.12019533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74892985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.206299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12019533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.182465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25505 KachelY 24067 1.74892985 -1.12019533 100.206299 -64.182465
    Oben rechts KachelX + 1 25506 KachelY 24067 1.74912159 -1.12019533 100.217285 -64.182465
    Unten links KachelX 25505 KachelY + 1 24068 1.74892985 -1.12027883 100.206299 -64.187249
    Unten rechts KachelX + 1 25506 KachelY + 1 24068 1.74912159 -1.12027883 100.217285 -64.187249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12019533--1.12027883) × R
    8.34999999999031e-05 × 6371000     		dl = 531.978499999383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12019533--1.12027883) × R
    8.34999999999031e-05 × 6371000     		dr = 531.978499999383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74892985-1.74912159) × cos(-1.12019533) × R
    0.000191739999999996 × 0.435506621346987 × 6371000     		do = 532.00423614551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74892985-1.74912159) × cos(-1.12027883) × R
    0.000191739999999996 × 0.435431454337352 × 6371000     		du = 531.912413965124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12019533)-sin(-1.12027883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435506621346987-0.435431454337352)×R²
    abs(1.74912159-1.74892985)×7.51670096356682e-05×R²
    0.000191739999999996×7.51670096356682e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.51670096356682e-05×40589641000000     		ar = 282990.391989538m²