Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25504 / 24034
↖ ↑ ↗
← S 64.024121°
E100.195313°		 ← 535.07 m → S 64.024121°
E100.206299°		 →
↑
535.04 m
↓
↑
535.04 m
↓
S 64.028933°
E100.195313°		 ← 534.98 m →
286 257 m²		 S 64.028933°
E100.206299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778335571289062 y=0.733474731445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778335571289062 × 215)
    floor (0.778335571289062 × 32768)
    floor (25504.5)     		tx = 25504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733474731445312 × 215)
    floor (0.733474731445312 × 32768)
    floor (24034.5)     		ty = 24034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25504 / 24034 ti = "15/25504/24034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25504/24034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25504 ÷ 215
    25504 ÷ 32768     		x = 0.7783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24034 ÷ 215
    24034 ÷ 32768     		y = 0.73345947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7783203125 × 2 - 1) × π
    0.556640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74873810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73345947265625 × 2 - 1) × π
    -0.4669189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46686912837372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74873810} λ = 1.74873810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46686912837372))-π/2
    2×atan(0.230646480447302)-π/2
    2×0.226682301074936-π/2
    0.453364602149872-1.57079632675     		φ = -1.11743172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74873810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.195313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11743172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.024121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25504 KachelY 24034 1.74873810 -1.11743172 100.195313 -64.024121
    Oben rechts KachelX + 1 25505 KachelY 24034 1.74892985 -1.11743172 100.206299 -64.024121
    Unten links KachelX 25504 KachelY + 1 24035 1.74873810 -1.11751570 100.195313 -64.028933
    Unten rechts KachelX + 1 25505 KachelY + 1 24035 1.74892985 -1.11751570 100.206299 -64.028933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11743172--1.11751570) × R
    8.39800000000945e-05 × 6371000     		dl = 535.036580000602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11743172--1.11751570) × R
    8.39800000000945e-05 × 6371000     		dr = 535.036580000602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74873810-1.74892985) × cos(-1.11743172) × R
    0.000191749999999935 × 0.437992716805524 × 6371000     		do = 535.069094063581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74873810-1.74892985) × cos(-1.11751570) × R
    0.000191749999999935 × 0.437917219044972 × 6371000     		du = 534.976863036004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11743172)-sin(-1.11751570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437992716805524-0.437917219044972)×R²
    abs(1.74892985-1.74873810)×7.54977605517126e-05×R²
    0.000191749999999935×7.54977605517126e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.54977605517126e-05×40589641000000     		ar = 286256.864833085m²