Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25503 / 24755
↖ ↑ ↗
← S 67.284773°
E100.184326°		 ← 471.74 m → S 67.284773°
E100.195313°		 →
↑
471.71 m
↓
↑
471.71 m
↓
S 67.289015°
E100.184326°		 ← 471.65 m →
222 503 m²		 S 67.289015°
E100.195313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778305053710938 y=0.755477905273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778305053710938 × 215)
    floor (0.778305053710938 × 32768)
    floor (25503.5)     		tx = 25503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755477905273438 × 215)
    floor (0.755477905273438 × 32768)
    floor (24755.5)     		ty = 24755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25503 / 24755 ti = "15/25503/24755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25503/24755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25503 ÷ 215
    25503 ÷ 32768     		x = 0.778289794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24755 ÷ 215
    24755 ÷ 32768     		y = 0.755462646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778289794921875 × 2 - 1) × π
    0.55657958984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74854635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755462646484375 × 2 - 1) × π
    -0.51092529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60511914687796
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74854635} λ = 1.74854635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60511914687796))-π/2
    2×atan(0.200865620972805)-π/2
    2×0.198227748985367-π/2
    0.396455497970734-1.57079632675     		φ = -1.17434083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74854635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.184326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17434083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.284773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25503 KachelY 24755 1.74854635 -1.17434083 100.184326 -67.284773
    Oben rechts KachelX + 1 25504 KachelY 24755 1.74873810 -1.17434083 100.195313 -67.284773
    Unten links KachelX 25503 KachelY + 1 24756 1.74854635 -1.17441487 100.184326 -67.289015
    Unten rechts KachelX + 1 25504 KachelY + 1 24756 1.74873810 -1.17441487 100.195313 -67.289015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17434083--1.17441487) × R
    7.40400000001085e-05 × 6371000     		dl = 471.708840000691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17434083--1.17441487) × R
    7.40400000001085e-05 × 6371000     		dr = 471.708840000691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74854635-1.74873810) × cos(-1.17434083) × R
    0.000191749999999935 × 0.386151199272637 × 6371000     		do = 471.737461465865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74854635-1.74873810) × cos(-1.17441487) × R
    0.000191749999999935 × 0.386082901089869 × 6371000     		du = 471.654025725091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17434083)-sin(-1.17441487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386151199272637-0.386082901089869)×R²
    abs(1.74873810-1.74854635)×6.82981827685447e-05×R²
    0.000191749999999935×6.82981827685447e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.82981827685447e-05×40589641000000     		ar = 222503.052146943m²