Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25502 / 24068
↖ ↑ ↗
← S 64.187249°
E100.173340°		 ← 531.94 m → S 64.187249°
E100.184326°		 →
↑
531.85 m
↓
↑
531.85 m
↓
S 64.192032°
E100.173340°		 ← 531.85 m →
282 889 m²		 S 64.192032°
E100.184326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778274536132812 y=0.734512329101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778274536132812 × 215)
    floor (0.778274536132812 × 32768)
    floor (25502.5)     		tx = 25502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734512329101562 × 215)
    floor (0.734512329101562 × 32768)
    floor (24068.5)     		ty = 24068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25502 / 24068 ti = "15/25502/24068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25502/24068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25502 ÷ 215
    25502 ÷ 32768     		x = 0.77825927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24068 ÷ 215
    24068 ÷ 32768     		y = 0.7344970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77825927734375 × 2 - 1) × π
    0.5565185546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74835460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7344970703125 × 2 - 1) × π
    -0.468994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47338854672205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74835460} λ = 1.74835460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47338854672205))-π/2
    2×atan(0.22914769047867)-π/2
    2×0.225258749804659-π/2
    0.450517499609319-1.57079632675     		φ = -1.12027883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74835460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.173340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12027883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.187249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25502 KachelY 24068 1.74835460 -1.12027883 100.173340 -64.187249
    Oben rechts KachelX + 1 25503 KachelY 24068 1.74854635 -1.12027883 100.184326 -64.187249
    Unten links KachelX 25502 KachelY + 1 24069 1.74835460 -1.12036231 100.173340 -64.192032
    Unten rechts KachelX + 1 25503 KachelY + 1 24069 1.74854635 -1.12036231 100.184326 -64.192032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12027883--1.12036231) × R
    8.34800000000246e-05 × 6371000     		dl = 531.851080000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12027883--1.12036231) × R
    8.34800000000246e-05 × 6371000     		dr = 531.851080000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74835460-1.74854635) × cos(-1.12027883) × R
    0.000191749999999935 × 0.435431454337352 × 6371000     		do = 531.940155302911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74835460-1.74854635) × cos(-1.12036231) × R
    0.000191749999999935 × 0.435356302296944 × 6371000     		du = 531.848346620632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12027883)-sin(-1.12036231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435431454337352-0.435356302296944)×R²
    abs(1.74854635-1.74835460)×7.5152040407922e-05×R²
    0.000191749999999935×7.5152040407922e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.5152040407922e-05×40589641000000     		ar = 282888.531984442m²