Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25501 / 24489
↖ ↑ ↗
← S 66.129408°
E100.162354°		 ← 494.34 m → S 66.129408°
E100.173340°		 →
↑
494.33 m
↓
↑
494.33 m
↓
S 66.133854°
E100.162354°		 ← 494.25 m →
244 343 m²		 S 66.133854°
E100.173340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778244018554688 y=0.747360229492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778244018554688 × 215)
    floor (0.778244018554688 × 32768)
    floor (25501.5)     		tx = 25501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747360229492188 × 215)
    floor (0.747360229492188 × 32768)
    floor (24489.5)     		ty = 24489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25501 / 24489 ti = "15/25501/24489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25501/24489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25501 ÷ 215
    25501 ÷ 32768     		x = 0.778228759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24489 ÷ 215
    24489 ÷ 32768     		y = 0.747344970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778228759765625 × 2 - 1) × π
    0.55645751953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.74816286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747344970703125 × 2 - 1) × π
    -0.49468994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.55411428568222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74816286} λ = 1.74816286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55411428568222))-π/2
    2×atan(0.211376518963365)-π/2
    2×0.20831020702479-π/2
    0.41662041404958-1.57079632675     		φ = -1.15417591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74816286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.162354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15417591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.129408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25501 KachelY 24489 1.74816286 -1.15417591 100.162354 -66.129408
    Oben rechts KachelX + 1 25502 KachelY 24489 1.74835460 -1.15417591 100.173340 -66.129408
    Unten links KachelX 25501 KachelY + 1 24490 1.74816286 -1.15425350 100.162354 -66.133854
    Unten rechts KachelX + 1 25502 KachelY + 1 24490 1.74835460 -1.15425350 100.173340 -66.133854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15417591--1.15425350) × R
    7.75900000000718e-05 × 6371000     		dl = 494.325890000457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15417591--1.15425350) × R
    7.75900000000718e-05 × 6371000     		dr = 494.325890000457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74816286-1.74835460) × cos(-1.15417591) × R
    0.000191739999999996 × 0.404672270253716 × 6371000     		do = 494.337747058199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74816286-1.74835460) × cos(-1.15425350) × R
    0.000191739999999996 × 0.404601315945891 × 6371000     		du = 494.251071011302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15417591)-sin(-1.15425350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404672270253716-0.404601315945891)×R²
    abs(1.74835460-1.74816286)×7.09543078249997e-05×R²
    0.000191739999999996×7.09543078249997e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.09543078249997e-05×40589641000000     		ar = 244342.52379105m²