Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25501 / 24148
↖ ↑ ↗
← S 64.567319°
E100.162354°		 ← 524.61 m → S 64.567319°
E100.173340°		 →
↑
524.52 m
↓
↑
524.52 m
↓
S 64.572036°
E100.162354°		 ← 524.52 m →
275 145 m²		 S 64.572036°
E100.173340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778244018554688 y=0.736953735351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778244018554688 × 215)
    floor (0.778244018554688 × 32768)
    floor (25501.5)     		tx = 25501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736953735351562 × 215)
    floor (0.736953735351562 × 32768)
    floor (24148.5)     		ty = 24148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25501 / 24148 ti = "15/25501/24148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25501/24148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25501 ÷ 215
    25501 ÷ 32768     		x = 0.778228759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24148 ÷ 215
    24148 ÷ 32768     		y = 0.7369384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778228759765625 × 2 - 1) × π
    0.55645751953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.74816286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7369384765625 × 2 - 1) × π
    -0.473876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.48872835460046
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74816286} λ = 1.74816286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48872835460046))-π/2
    2×atan(0.225659431940337)-π/2
    2×0.2219420104526-π/2
    0.4438840209052-1.57079632675     		φ = -1.12691231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74816286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.162354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12691231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.567319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25501 KachelY 24148 1.74816286 -1.12691231 100.162354 -64.567319
    Oben rechts KachelX + 1 25502 KachelY 24148 1.74835460 -1.12691231 100.173340 -64.567319
    Unten links KachelX 25501 KachelY + 1 24149 1.74816286 -1.12699464 100.162354 -64.572036
    Unten rechts KachelX + 1 25502 KachelY + 1 24149 1.74835460 -1.12699464 100.173340 -64.572036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12691231--1.12699464) × R
    8.23299999999083e-05 × 6371000     		dl = 524.524429999416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12691231--1.12699464) × R
    8.23299999999083e-05 × 6371000     		dr = 524.524429999416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74816286-1.74835460) × cos(-1.12691231) × R
    0.000191739999999996 × 0.429450314116585 × 6371000     		do = 524.605999370126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74816286-1.74835460) × cos(-1.12699464) × R
    0.000191739999999996 × 0.429375961221419 × 6371000     		du = 524.515171692062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12691231)-sin(-1.12699464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429450314116585-0.429375961221419)×R²
    abs(1.74835460-1.74816286)×7.43528951666628e-05×R²
    0.000191739999999996×7.43528951666628e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.43528951666628e-05×40589641000000     		ar = 275144.84228159m²