Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25500 / 24150
↖ ↑ ↗
← S 64.576754°
E100.151367°		 ← 524.45 m → S 64.576754°
E100.162354°		 →
↑
524.40 m
↓
↑
524.40 m
↓
S 64.581470°
E100.151367°		 ← 524.36 m →
274 997 m²		 S 64.581470°
E100.162354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778213500976562 y=0.737014770507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778213500976562 × 215)
    floor (0.778213500976562 × 32768)
    floor (25500.5)     		tx = 25500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737014770507812 × 215)
    floor (0.737014770507812 × 32768)
    floor (24150.5)     		ty = 24150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25500 / 24150 ti = "15/25500/24150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25500/24150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25500 ÷ 215
    25500 ÷ 32768     		x = 0.7781982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24150 ÷ 215
    24150 ÷ 32768     		y = 0.73699951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7781982421875 × 2 - 1) × π
    0.556396484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74797111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73699951171875 × 2 - 1) × π
    -0.4739990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.48911184979742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74797111} λ = 1.74797111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48911184979742))-π/2
    2×atan(0.225572909223623)-π/2
    2×0.221859678643708-π/2
    0.443719357287416-1.57079632675     		φ = -1.12707697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74797111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.151367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12707697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.576754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25500 KachelY 24150 1.74797111 -1.12707697 100.151367 -64.576754
    Oben rechts KachelX + 1 25501 KachelY 24150 1.74816286 -1.12707697 100.162354 -64.576754
    Unten links KachelX 25500 KachelY + 1 24151 1.74797111 -1.12715928 100.151367 -64.581470
    Unten rechts KachelX + 1 25501 KachelY + 1 24151 1.74816286 -1.12715928 100.162354 -64.581470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12707697--1.12715928) × R
    8.23100000000299e-05 × 6371000     		dl = 524.39701000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12707697--1.12715928) × R
    8.23100000000299e-05 × 6371000     		dr = 524.39701000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74797111-1.74816286) × cos(-1.12707697) × R
    0.000191750000000157 × 0.429301605415843 × 6371000     		do = 524.451691264436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74797111-1.74816286) × cos(-1.12715928) × R
    0.000191750000000157 × 0.429227264764294 × 6371000     		du = 524.360873806633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12707697)-sin(-1.12715928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429301605415843-0.429227264764294)×R²
    abs(1.74816286-1.74797111)×7.43406515493761e-05×R²
    0.000191750000000157×7.43406515493761e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.43406515493761e-05×40589641000000     		ar = 274997.08674151m²