Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25499 / 24351
↖ ↑ ↗
← S 65.508409°
E100.140381°		 ← 506.44 m → S 65.508409°
E100.151367°		 →
↑
506.37 m
↓
↑
506.37 m
↓
S 65.512963°
E100.140381°		 ← 506.35 m →
256 423 m²		 S 65.512963°
E100.151367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778182983398438 y=0.743148803710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778182983398438 × 215)
    floor (0.778182983398438 × 32768)
    floor (25499.5)     		tx = 25499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743148803710938 × 215)
    floor (0.743148803710938 × 32768)
    floor (24351.5)     		ty = 24351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25499 / 24351 ti = "15/25499/24351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25499/24351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25499 ÷ 215
    25499 ÷ 32768     		x = 0.778167724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24351 ÷ 215
    24351 ÷ 32768     		y = 0.743133544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778167724609375 × 2 - 1) × π
    0.55633544921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74777936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743133544921875 × 2 - 1) × π
    -0.48626708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52765311709195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74777936} λ = 1.74777936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52765311709195))-π/2
    2×atan(0.217044447963393)-π/2
    2×0.213729455706724-π/2
    0.427458911413447-1.57079632675     		φ = -1.14333742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74777936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.140381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14333742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.508409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25499 KachelY 24351 1.74777936 -1.14333742 100.140381 -65.508409
    Oben rechts KachelX + 1 25500 KachelY 24351 1.74797111 -1.14333742 100.151367 -65.508409
    Unten links KachelX 25499 KachelY + 1 24352 1.74777936 -1.14341690 100.140381 -65.512963
    Unten rechts KachelX + 1 25500 KachelY + 1 24352 1.74797111 -1.14341690 100.151367 -65.512963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14333742--1.14341690) × R
    7.94800000001317e-05 × 6371000     		dl = 506.367080000839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14333742--1.14341690) × R
    7.94800000001317e-05 × 6371000     		dr = 506.367080000839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74777936-1.74797111) × cos(-1.14333742) × R
    0.000191749999999935 × 0.414559692325891 × 6371000     		do = 506.442391613061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74777936-1.74797111) × cos(-1.14341690) × R
    0.000191749999999935 × 0.414487362458354 × 6371000     		du = 506.354030607931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14333742)-sin(-1.14341690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414559692325891-0.414487362458354)×R²
    abs(1.74797111-1.74777936)×7.23298675369133e-05×R²
    0.000191749999999935×7.23298675369133e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.23298675369133e-05×40589641000000     		ar = 256423.38361267m²