Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25499 / 24141
↖ ↑ ↗
← S 64.534272°
E100.140381°		 ← 525.27 m → S 64.534272°
E100.151367°		 →
↑
525.23 m
↓
↑
525.23 m
↓
S 64.538996°
E100.140381°		 ← 525.18 m →
275 861 m²		 S 64.538996°
E100.151367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778182983398438 y=0.736740112304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778182983398438 × 215)
    floor (0.778182983398438 × 32768)
    floor (25499.5)     		tx = 25499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736740112304688 × 215)
    floor (0.736740112304688 × 32768)
    floor (24141.5)     		ty = 24141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25499 / 24141 ti = "15/25499/24141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25499/24141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25499 ÷ 215
    25499 ÷ 32768     		x = 0.778167724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24141 ÷ 215
    24141 ÷ 32768     		y = 0.736724853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778167724609375 × 2 - 1) × π
    0.55633544921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74777936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736724853515625 × 2 - 1) × π
    -0.47344970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4873861214111
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74777936} λ = 1.74777936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4873861214111))-π/2
    2×atan(0.225962522883238)-π/2
    2×0.222230396420882-π/2
    0.444460792841764-1.57079632675     		φ = -1.12633553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74777936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.140381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12633553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.534272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25499 KachelY 24141 1.74777936 -1.12633553 100.140381 -64.534272
    Oben rechts KachelX + 1 25500 KachelY 24141 1.74797111 -1.12633553 100.151367 -64.534272
    Unten links KachelX 25499 KachelY + 1 24142 1.74777936 -1.12641797 100.140381 -64.538996
    Unten rechts KachelX + 1 25500 KachelY + 1 24142 1.74797111 -1.12641797 100.151367 -64.538996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12633553--1.12641797) × R
    8.2440000000128e-05 × 6371000     		dl = 525.225240000815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12633553--1.12641797) × R
    8.2440000000128e-05 × 6371000     		dr = 525.225240000815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74777936-1.74797111) × cos(-1.12633553) × R
    0.000191749999999935 × 0.429971127185069 × 6371000     		do = 525.269605335844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74777936-1.74797111) × cos(-1.12641797) × R
    0.000191749999999935 × 0.429896695376922 × 6371000     		du = 525.178676517564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12633553)-sin(-1.12641797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429971127185069-0.429896695376922)×R²
    abs(1.74797111-1.74777936)×7.44318081468132e-05×R²
    0.000191749999999935×7.44318081468132e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.44318081468132e-05×40589641000000     		ar = 275860.97562918m²