Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25498 / 24709
↖ ↑ ↗
← S 67.088828°
E100.129394°		 ← 475.59 m → S 67.088828°
E100.140381°		 →
↑
475.53 m
↓
↑
475.53 m
↓
S 67.093105°
E100.129394°		 ← 475.50 m →
226 137 m²		 S 67.093105°
E100.140381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778152465820312 y=0.754074096679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778152465820312 × 215)
    floor (0.778152465820312 × 32768)
    floor (25498.5)     		tx = 25498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754074096679688 × 215)
    floor (0.754074096679688 × 32768)
    floor (24709.5)     		ty = 24709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25498 / 24709 ti = "15/25498/24709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25498/24709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25498 ÷ 215
    25498 ÷ 32768     		x = 0.77813720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24709 ÷ 215
    24709 ÷ 32768     		y = 0.754058837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77813720703125 × 2 - 1) × π
    0.5562744140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74758761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754058837890625 × 2 - 1) × π
    -0.50811767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59629875734787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74758761} λ = 1.74758761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59629875734787))-π/2
    2×atan(0.20264517061622)-π/2
    2×0.19993769450579-π/2
    0.399875389011579-1.57079632675     		φ = -1.17092094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74758761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.129394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17092094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.088828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25498 KachelY 24709 1.74758761 -1.17092094 100.129394 -67.088828
    Oben rechts KachelX + 1 25499 KachelY 24709 1.74777936 -1.17092094 100.140381 -67.088828
    Unten links KachelX 25498 KachelY + 1 24710 1.74758761 -1.17099558 100.129394 -67.093105
    Unten rechts KachelX + 1 25499 KachelY + 1 24710 1.74777936 -1.17099558 100.140381 -67.093105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17092094--1.17099558) × R
    7.46400000000147e-05 × 6371000     		dl = 475.531440000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17092094--1.17099558) × R
    7.46400000000147e-05 × 6371000     		dr = 475.531440000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74758761-1.74777936) × cos(-1.17092094) × R
    0.000191749999999935 × 0.389303562922857 × 6371000     		do = 475.588512631246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74758761-1.74777936) × cos(-1.17099558) × R
    0.000191749999999935 × 0.389234810224402 × 6371000     		du = 475.504521636269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17092094)-sin(-1.17099558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389303562922857-0.389234810224402)×R²
    abs(1.74777936-1.74758761)×6.87526984555764e-05×R²
    0.000191749999999935×6.87526984555764e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.87526984555764e-05×40589641000000     		ar = 226137.320184864m²