Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25498 / 24139
↖ ↑ ↗
← S 64.524823°
E100.129394°		 ← 525.45 m → S 64.524823°
E100.140381°		 →
↑
525.42 m
↓
↑
525.42 m
↓
S 64.529548°
E100.129394°		 ← 525.36 m →
276 057 m²		 S 64.529548°
E100.140381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778152465820312 y=0.736679077148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778152465820312 × 215)
    floor (0.778152465820312 × 32768)
    floor (25498.5)     		tx = 25498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736679077148438 × 215)
    floor (0.736679077148438 × 32768)
    floor (24139.5)     		ty = 24139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25498 / 24139 ti = "15/25498/24139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25498/24139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25498 ÷ 215
    25498 ÷ 32768     		x = 0.77813720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24139 ÷ 215
    24139 ÷ 32768     		y = 0.736663818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77813720703125 × 2 - 1) × π
    0.5562744140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74758761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736663818359375 × 2 - 1) × π
    -0.47332763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48700262621414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74758761} λ = 1.74758761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48700262621414))-π/2
    2×atan(0.226049195043573)-π/2
    2×0.222312856625392-π/2
    0.444625713250784-1.57079632675     		φ = -1.12617061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74758761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.129394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12617061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.524823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25498 KachelY 24139 1.74758761 -1.12617061 100.129394 -64.524823
    Oben rechts KachelX + 1 25499 KachelY 24139 1.74777936 -1.12617061 100.140381 -64.524823
    Unten links KachelX 25498 KachelY + 1 24140 1.74758761 -1.12625308 100.129394 -64.529548
    Unten rechts KachelX + 1 25499 KachelY + 1 24140 1.74777936 -1.12625308 100.140381 -64.529548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12617061--1.12625308) × R
    8.24699999999456e-05 × 6371000     		dl = 525.416369999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12617061--1.12625308) × R
    8.24699999999456e-05 × 6371000     		dr = 525.416369999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74758761-1.74777936) × cos(-1.12617061) × R
    0.000191749999999935 × 0.430120018145018 × 6371000     		do = 525.451496376488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74758761-1.74777936) × cos(-1.12625308) × R
    0.000191749999999935 × 0.430045565099052 × 6371000     		du = 525.360541613254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12617061)-sin(-1.12625308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430120018145018-0.430045565099052)×R²
    abs(1.74777936-1.74758761)×7.44530459662607e-05×R²
    0.000191749999999935×7.44530459662607e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.44530459662607e-05×40589641000000     		ar = 276056.923432469m²