Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 25497 / 40823
↖ ↑ ↗
← S 40.409314°
W 39.940796°		 ← 465.07 m → S 40.409314°
W 39.935303°		 →
↑
465.08 m
↓
↑
465.08 m
↓
S 40.413496°
W 39.940796°		 ← 465.05 m →
216 291 m²		 S 40.413496°
W 39.935303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.389060974121094 y=0.622917175292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.389060974121094 × 216)
    floor (0.389060974121094 × 65536)
    floor (25497.5)     		tx = 25497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622917175292969 × 216)
    floor (0.622917175292969 × 65536)
    floor (40823.5)     		ty = 40823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 25497 / 40823 ti = "16/25497/40823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/25497/40823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25497 ÷ 216
    25497 ÷ 65536     		x = 0.389053344726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40823 ÷ 216
    40823 ÷ 65536     		y = 0.622909545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.389053344726562 × 2 - 1) × π
    -0.221893310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.69709839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622909545898438 × 2 - 1) × π
    -0.245819091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.772263452879105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69709839} λ = -0.69709839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.772263452879105))-π/2
    2×atan(0.461966245212999)-π/2
    2×0.43276037885172-π/2
    0.86552075770344-1.57079632675     		φ = -0.70527557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69709839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.940796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70527557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.409314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25497 KachelY 40823 -0.69709839 -0.70527557 -39.940796 -40.409314
    Oben rechts KachelX + 1 25498 KachelY 40823 -0.69700252 -0.70527557 -39.935303 -40.409314
    Unten links KachelX 25497 KachelY + 1 40824 -0.69709839 -0.70534857 -39.940796 -40.413496
    Unten rechts KachelX + 1 25498 KachelY + 1 40824 -0.69700252 -0.70534857 -39.935303 -40.413496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70527557--0.70534857) × R
    7.29999999999897e-05 × 6371000     		dl = 465.082999999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70527557--0.70534857) × R
    7.29999999999897e-05 × 6371000     		dr = 465.082999999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69709839--0.69700252) × cos(-0.70527557) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.761432944163974 × 6371000     		do = 465.073929970438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69709839--0.69700252) × cos(-0.70534857) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.761385620346375 × 6371000     		du = 465.045025161419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70527557)-sin(-0.70534857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761432944163974-0.761385620346375)×R²
    abs(-0.69700252--0.69709839)×4.73238175983104e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73238175983104e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73238175983104e-05×40589641000000     		ar = 216291.257100807m²