Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25497 / 24427
↖ ↑ ↗
← S 65.852262°
E100.118408°		 ← 499.76 m → S 65.852262°
E100.129394°		 →
↑
499.74 m
↓
↑
499.74 m
↓
S 65.856757°
E100.118408°		 ← 499.67 m →
249 730 m²		 S 65.856757°
E100.129394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778121948242188 y=0.745468139648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778121948242188 × 215)
    floor (0.778121948242188 × 32768)
    floor (25497.5)     		tx = 25497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745468139648438 × 215)
    floor (0.745468139648438 × 32768)
    floor (24427.5)     		ty = 24427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25497 / 24427 ti = "15/25497/24427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25497/24427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25497 ÷ 215
    25497 ÷ 32768     		x = 0.778106689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24427 ÷ 215
    24427 ÷ 32768     		y = 0.745452880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778106689453125 × 2 - 1) × π
    0.55621337890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74739586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745452880859375 × 2 - 1) × π
    -0.49090576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54222593457645
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74739586} λ = 1.74739586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54222593457645))-π/2
    2×atan(0.21390443383303)-π/2
    2×0.210728763449307-π/2
    0.421457526898614-1.57079632675     		φ = -1.14933880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74739586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.118408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14933880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.852262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25497 KachelY 24427 1.74739586 -1.14933880 100.118408 -65.852262
    Oben rechts KachelX + 1 25498 KachelY 24427 1.74758761 -1.14933880 100.129394 -65.852262
    Unten links KachelX 25497 KachelY + 1 24428 1.74739586 -1.14941724 100.118408 -65.856757
    Unten rechts KachelX + 1 25498 KachelY + 1 24428 1.74758761 -1.14941724 100.129394 -65.856757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14933880--1.14941724) × R
    7.84400000000129e-05 × 6371000     		dl = 499.741240000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14933880--1.14941724) × R
    7.84400000000129e-05 × 6371000     		dr = 499.741240000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74739586-1.74758761) × cos(-1.14933880) × R
    0.000191750000000157 × 0.409090871065105 × 6371000     		do = 499.761464910231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74739586-1.74758761) × cos(-1.14941724) × R
    0.000191750000000157 × 0.409019293804828 × 6371000     		du = 499.674023319669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14933880)-sin(-1.14941724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409090871065105-0.409019293804828)×R²
    abs(1.74758761-1.74739586)×7.15772602772891e-05×R²
    0.000191750000000157×7.15772602772891e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.15772602772891e-05×40589641000000     		ar = 249729.565221897m²